初中二次函數動點類問題研究

摘 要：二次函數不僅是初中階段函數的升華，更是初中到高中數學知識銜接的一個重要橋梁。近些年的中考壓軸題幾乎全是以拋物線為載體的。對初中生而言，函數，尤其是二次函數是難點。這篇文章，總結了二次函數動點類問題的幾種類型，利用“數形結合”這把金鑰匙帶領學生把圖形中隱含的數量關系挖掘出來，運用形的特征來探索數的規律。

關鍵詞：等腰三角形；平行四邊形；相似三角形

二次函數動點類壓軸題綜合性強，數形兼備、解題方法多樣化、充滿思辨性，知識高度融合，著重考查學生綜合運用知識的能力，研究問題分析問題解決問題的能力及調用數學模型和套路的整合能力，要求學生運用各種知識解題，思維需有廣度和深度，且能用靈活的方法解題.以二次函數為背景的動點類問題通常有以下幾種類型。

一、設點坐標法結合鉛垂高求面積最大值

例1：如圖1，拋物線解析式為D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標。

思路：易求A和M的坐標分別為（-3，0）（0，1），直線AM的解析式為y=x+1.由題意設點D的坐標為，則點F的坐標為，DF==，根據二次函數最值的求法來求線段DF的最大值。

例2：如圖2，二次函數y=-x2+3x-2的圖象與x軸交于點A，B，與y軸的交點是C。過點C作CE//x軸，與二次函數的圖象相交于點E，點H是該二次函數圖象上的動點，過點H作HF//y軸，交線段BC于點F，試探究當點H運動到何處時，?CHF與?HFE的面積之和最大，求點H的坐標及最大面積。

思路：?CHF與?HFE的底都是HF，高之和是CE=3

所以?CHF與?HFE的面積之和

要想求面積最大值，只需求HF最大值，接下來思路同例1。

二、因動點產生的等腰三角形問題

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三種情況。如果△ABC的∠A（的余弦值）確定，∠A的兩邊AB和AC可用含x的式子表示，就用幾何法。

①下左圖，如果AB=AC，直接列方程；②如下中圖，如果BA=BC，那么；③如下右圖，如果CA=CB，那么。代數法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗。

若三角形的三個角都不確定，但三個頂點的坐標可用含x的式子表示，可根據兩點間距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來。

例3：如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm。如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s。連結PQ，設運動時間為t（s）（0

解：①如下左圖，當AP=AQ時，5-t=t。解得。

②如下中圖，當PA=PQ時，·解得。

③如下右圖，當QA=QP時，·解得。

三、因動點產生的平行四邊形問題

1.已知A、B、C三點，以A、B、C、D為頂點的平行四邊形有幾個，怎么畫？

2.在坐標平面內，如何理解平行四邊形ABCD的對邊AB與DC平行且相等？

如上左圖，過△ABC的每個頂點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產生三個點D。

如上右圖，已知A（0，3），B（-2，0），C（3，1），如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點D的坐標呢？

點B先向右平移2個單位，再向上平移3個單位與點A重合，因為BA與CD平行且相等，所以點C（3，1）先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點D（5，4）。

例4：如圖4，二次函數y=-x2+x+2的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若點E為拋物線上任意一點，點F為x軸上任意一點，當以B，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形時，寫出滿足條件的所有點E的坐標。

思路：①若BC為平行四邊形的一邊，且頂點是CBFE的順序，則CB∥EF，因為F的縱坐標為0，所以可以從縱坐標的角度，B（4，0），C（0，2）從B到C上移2個單位，那么F到E也要上移2個單位，從而E的縱坐標是2，將y=2代入二次函數解析式得E的坐標為（3，2）。

若BC為平行四邊形的一邊，且頂點是CBEF的順序，則CB∥FE，從B到C上移2個單位，那么E到F也要上移2個單位，從而E的縱坐標是-2，將y=-2代入二次函數解析式得E的坐標為（，-2）或（，-2）。

②若BC為平行四邊形的一條對角線，則CE∥BF，∴yE=yC=2，∴點E的坐標為（3，2）。

綜上所述：滿足條件的點E的坐標為（3，2）、（，-2）、（，-2）。

四、因動點產生的相似三角形問題

最常用的解題理論，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗。如果已知∠A=∠D，探求△ABC與△DEF相似，只需把夾∠A和∠D的兩邊表示出，按照對應邊成比例，分和兩種情況列方程。

例5：如圖2，二次函數的圖象與x軸交于點A，B與y軸的交點是C。若點D是y軸上的一點，是否存在D，使以B，C，D為頂點的三角形與?ABC相似，若存在，求點D的坐標，若不存在，請說明理由。

思路：∠BAC<135°，如果點D在C的下方，那么∠BCD=135°，所以點D必定在C點的上方。經分析，°，要想△ABC與△BCD相似，則有或兩種情況，算出CD=1或CD=8，從而D（0，-1）或D（0，6）。

通過以上分析可以看出解決二次函數動點類問題通常需要以下四種方法：①數形結合法，也就是需將題中的條件與圖形或圖象聯系起來。②構造法，即利用作輔助線或者建立模型來解決問題。③分類討論法，在題目的相關信息或條件不夠具體明確時，應分多種情況求解。④轉化法，即遇到不好解決的難點時，通過其它等價的量，轉為已知的或易于解決的問題來解題。這些方法需要學生具備扎實、熟練的基礎知識和基本技能，還要綜合靈活運用，不能生搬硬套。教師應重點講解經典題型，對經典題型進行多角度分析，使學生掌握二次函數的精髓，舉一反三，做到講解一道題，學生會一類題，這樣才能事半功倍。

作者簡介：胡靜靜（1990—），女，山東菏澤人，研究生，畢業于南京師范大學，二級教師，主要研究方向：基礎數學。