拉船中幾個力學問題

錢樹高

(昆明理工大學理學院 云南 昆明 650051)

夏英齊

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

在貴刊上一些不同看法的文章[1～3]最初引起我們的注意．我們肯定了文獻[3]的正確性，并指出速度合成與分解的基礎(依據)在于：運動的合成與分解．又，拉船過程中，繩上點做曲線運動，這也是基于運動的合成與分解，它沿繩運動，又繞定滑輪轉動．我們還對文獻[1]認為也是不能用速度合成與分解的幾個例子，提出了我們的分析與看法[4]．不同的看法、解法、有疑點、有爭論,可以明辨是非，對促進學術繁榮是十分有益的．

1 岸上用繩拉湖中船

一人站在岸上以速度v拉繩(或收繩)，或者拉伸跨定滑輪的繩以速度v奔跑，使湖中船靠岸(圖1)．求船速V和加速度a．

圖1 岸上人拉船示意圖

用多種方法可求得到

(1)

若拉繩的加速度為

(2)

類似的，拉斜坡上的車(圖2)，有同樣的關系；

圖2 斜坡拉車情形

拉球面上的車(圖3)也有

圖3 球面拉車情形

還可求得

(3)

2 岸邊用繩拉河中船

岸邊一人用繩拉河中船靠岸，拉繩速度為v1，水流速度為v2(繩與船在同一水平面上)，求船速和加速度(圖4).

圖4 拉河中船靠岸

船的徑向速度

船的橫向速度

徑向加速度

(4)

橫向加速度

(5)

3 岸邊用二繩拉湖中船

岸邊二人分別用二繩拉湖中船靠岸，拉繩速度為v1和v2，相應的繩長為l1和l2，二繩夾角為ψ(二繩與船在同一水平面上)，求船速度和加速度(圖5)．

圖5 二人分別用二繩拉船

3.1 船的速度和加速度

用做功的觀點，可以得到[5]

(6)

由式(6)，得

(7)

于是

(8)

用運動合成與分解的方法，也可求解：從O1(或O2)來看，船的運動可以視為沿繩方向的運動(v1或v2)，和繞O1(或O2)的轉動，因此有

及

和上面做功法的結果相同．

對船的加速度也可類似的求解，有

其中沿繩的徑向加速度

(9)

(10)

由此即可定出a和θ′.

若勻速拉繩a1=0，a2=0， 此時可求得

tanθ′=

(11)

及

(12)

可以證明，在二繩拉船中，船繞O1轉動的角速度ω和角加速度β為

(13)

+(l1v1-l2v2)2cosφ1]=

(v2cosψ-v1)[l1v1+l2v2-(l1v2+l2v1)cosψ]}=

(14)

例如，l1=l2(=l),v1=v2(=v)，即對稱拉船，可求得

與高h的湖岸上拉船一樣，這是很顯然的．

另一方面，由式(13)、(14)、(4)及(5)，也可求得上述結果．

又如

用二法都可求得

湖船的加速度

而河船的

二者并不相同，應該注意，拉繩或收繩速度不同于河水的作用速度．

3.2 與岸上拉繩之聯系

設船約束在圓周上運動(l1=R,v1=0)，如圖6所示，這里ψ=∠O1PO2.

圖6 船被約束在圓周上

有

可見

又

由

可得

(15)

及

(16)

還可從另一觀點來看，船做圓周運動的向心加速度和切向加速度為

(17)

其中角加速度可由式(14)令v1=0而得

(18)

故

(19)

如果令R→∞(圖6)，則球面上圓周變成平面(斜坡或湖面)上一條直線，求得的結果和式(2)是完全一致的．這樣，岸上拉船的問題就作為一種特殊情況和二繩拉船完全統一起來了．

可以指出，有些文獻說是在“河岸”上“拉河中小船”可能是筆誤疏忽[6，7]，也許不是，因此我們還是來照題分析思考一下在河中船的運動，“船向岸靠攏的速度”, 向原點O或岸邊靠近的速率是否仍然與湖中小船靠岸的速率相同，讀者可自行討論．