多角度論述洛倫茲力做功問題

鄧欣宇

(南京市金陵中學 江蘇 南京 210005)

洛倫茲力是帶電粒子在磁場中運動的驅動力，是研究帶電粒子運動規律的基礎，正確認識洛倫茲力，對于理解帶電粒子在磁場中運動有重要作用．關于洛倫茲力做功高中《物理·選修3-1》中僅輕描淡寫地說洛倫茲力總是與粒子的運動方向垂直，不對粒子做功．

但下面的問題中，似乎洛倫茲力又做了功．為了徹底搞清楚洛倫茲力是否做功，本文多角度地進行了論述．

1 問題描述

在空間有豎直方向的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里．在磁場中有一長L,內壁光滑且絕緣的細筒水平放置，筒底部有一質量為m,帶正電荷q的小球．現使細管在水平面內以u的速度向右勻速運動．問帶電小球離開細筒時其動能增加多少？洛倫茲力所起的作用是什么？

2 受力分析

為了清晰地分析小球的運動，現建立直角坐標系xOy，小球初始靜止位置為坐標原點，細管運動方向為x方向，垂直方向為y方向，如圖1所示．

圖1 直角坐標系

小球隨細管一起沿x正向運動，磁場對運動的帶電小球有力的作用，這個力叫洛倫茲力．對于運動的正電荷，洛倫茲力的方向確定是正電荷運動方向與磁場方向所在的平面內，右手四指由正電荷運動方向旋轉至磁場方向，大拇指所指的方向即是洛倫茲力的方向．如果是負電荷，大拇指所指方向的反方向即是洛倫茲力的方向．本例中，四指由u旋轉至B方向，確立了因u而產生的洛倫茲力f1指向y的正方向．在洛倫茲力f1作用下，小球在y方向運動，速度為v，因v又產生洛倫茲力f2，f2指向x的負方向，如圖2(a)所示．

圖2 受力分析

本例B和u垂直，洛倫茲力f1和f2的大小

f1=qBuf2=qBv

(1)

由于小球沿x方向做勻速運動，小球在x方向的受力是平衡的，說明細管的管壁對小球有x正方向的彈性力f3，有

f2=-f3

由牛頓第三定律作用力與反作用力關系知道，細管的管壁對小球有x負方向的彈性力，同時細管的管壁受到小球對其x正方向的彈性力f4，如圖2(b)所示，有

f4=-f3=f2

(2)

由于細管沿x方向做勻速運動，其x方向受力是平衡的，則細管還要受到外力f5作用

f5=-f4

(3)

由式(2)和式(3)知道，f5=-f2．這說明外力f5與洛倫茲力f2大小相等，方向相反．

上面的分析中出現了兩個洛倫茲力，它們與小球運動速度存在“先后”關系，如圖3所示.

圖3 力與運動的關系

圖中可見：力產生了運動，此時力是“母”，運動是“子”，兩者相平行．運動產生洛倫茲力，此時運動是“母”， 洛倫茲力是“子”，兩者相垂直．

3 運動分析

將x，y方向分別應用牛頓第二定理，得

(4)

小球沿x軸做勻速運動，沿y軸做初速度為零的勻加速運動．

小球離開細管時速度

(5)

小球離開細管時動能增加

(6)

小球運動方程

(7)

消去式(7)中的t，得小球軌跡方程

(8)

這是一個二次函數．

4 做功分析

本文從功的定義、功率、力與速度關系及運動軌跡4個角度分析洛倫茲力做功情況．

4.1 功的定義角度

功的定義為W=Fscosθ，一個力做功與否，取決于力和物體在力的方向上發生的位移，與力的名稱、性質無關．對于本例中，在洛倫茲力f1的方向上，小球有位移，所以洛倫茲力f1對小球是做功的．f1大小不變，在小球離開細管時，其位移為L．f1做功

Wf1=f1L=qBuL

(9)

洛倫茲力f2的反方向上，小球也有位移，所以洛倫茲力f2對小球也做功，為負功．f2大小是變化的，f2做功的計算需用積分，在小球離開細管時，f2反方向位移為s.f2所做的功

(10)

洛倫茲力f1與f2做功總和

Wf1+Wf2=0

(11)

洛倫茲力f1與f2做功總和為零．

4.2 功率角度

功率是指力在單位時間內做的功，功率=力×速度．

f1和f2的功率

Pf1=f1v=qBuv

Pf2=-f2u=-qBvu

(12)

所以

Pf1+Pf2=0

(13)

洛倫茲力f1與f2每個時刻功率之和為零，則f1與f2一段時間內做功總和必為零，即洛倫茲力f1與f2做功總和為零．

4.3 力與速度關系角度

圖2(a)中f1和f2的合力與u和v的合速度有何關系？

(14)

α=ββ+γ=α+γ=90°

(15)

可見f1,f2的合力與u,v的合速度垂直．也就是說洛倫茲力的合力與小球的合運動方向垂直．所以洛倫茲力的合力對小球的合運動做功為零．

4.4 運動軌跡角度

小球在y方向做勻加速直線運動，y方向速度v滿足下列關系

(16)

所以

(17)

對小球軌跡方程式(8)求導，得出

所以

f1dy=f2dx

(18)

Wf1+Wf2=

(19)

式中xL是小球在y方向運動的位移L對應的x方向的位移．

以上從4個角度分析了洛倫茲力的合力對小球的合運動做功為零．

4.5 洛倫茲力的作用

既然洛倫茲力的合力對小球的合運動做功為零，那么小球離開細管時動能為什么會增加？下面來解釋這個問題．

前面已證明得出外力f5與洛倫茲力f2大小相等，方向相反，f5=-f2．則外力f5在x方向做正功，考慮到式(6)、式(9)和式(11)得

Wf5=-Wf2=Wf1=ΔEk

(20)

說明外力克服洛倫茲力f2，通過洛倫茲力f1做功轉化，外力做功轉變為小球動能的增加．

也就是說小球動能的增加完全來源于外力做功，洛倫茲力在其中只是起到“二傳手”作用，對小球動能的增加沒有本質來源作用．

5 結論

(1)細管中帶電小球在磁場中隨細管做勻速直線運動的同時，還做勻加速直線運動，帶電小球運動軌跡為二次函數．

(2)洛倫茲力的合力與小球的合運動方向垂直．

(3) 從功的定義、功率、力與速度關系及運動軌跡4個角度分析得出洛倫茲力的合力對小球的合運動做功為零．

(4)小球動能的增加完全來源于外力做功，洛倫茲力分力做功在能量轉換中只是起到“二傳手”作用，對小球動能的增加沒有本質來源作用．