斜拉動滑輪時的機械效率分析

劉 勇

(杭州英特外國語學校 浙江 杭州 311121)

在貴刊2017年第9期“一道動滑輪機械效率實驗題的思考”[1]一文中，作者得到“就算是理想滑輪組，斜著拉動動滑輪時的機械效率會變低”的結論，筆者不贊同這個結論，在此提出自己的想法，與大家討論．

【例題】如圖1所示，忽略繩重和動滑輪輪軸處的摩擦，人斜向上用力拉繩，將物體勻速拉升h高度，動滑輪左邊的繩子與豎直方向的夾角始終保持不變，為θ，動滑輪右邊的繩子與豎直方向的夾角為θ′．設人對繩子自由端的拉力為F,動滑輪重量為G動，物體重力為G物．此時的機械效率和豎直向上用力拉繩時相比______(變大、不變、變小)

圖1 例題題圖

解析：因為忽略繩重和摩擦，動滑輪左右兩端的繩子拉力均為F．將動滑輪和跨接其上的繩子看作一個整體，由于動滑輪沿左邊繩子做勻速滾動，可知整體的質心在做勻速直線運動．根據質心運動定理[2]，整體所受合力應該為零．對整體作受力分析可得

θ=θ′

圖2 動滑輪由位置1移到位置2分析

圖3 作

為了求出拉力作用點相對于地面產生的位移，可以利用經典力學伽利略坐標變換公式

r=R+r′

(1)

圖4 動滑輪軸心當作k′參考系

拉力所做的總功為

W總=F·r=

這個結果與豎直拉動滑輪時是一樣的．所以斜拉動滑輪時，機械效率并不會如文獻[1]中所說的“機械效率會變低”．

文獻[1]認為：因為動滑輪在水平方向上有一段位移，導致作用在繩子自由端拉力的水平分力做了額外功．這種看法犯了力和位移對應的對象不一致的錯誤，與動滑輪的位移相對應的應該是作用在動滑輪上的力．事實上，人對繩子自由端的拉力并沒有作用在動滑輪上，而是作用在繩子自由端．所以，人對繩子的拉力應該對應繩子自由端的位移．如前文所述，繩子自由端并沒有產生水平方向的位移，所以人的拉力的水平分力其實并沒有做功．如果一定要用動滑輪的位移來計算總功，與動滑輪的位移相對應的力則應該是跨接在動滑輪上，與動滑輪有接觸的那段繩子對動滑輪施加的力．這段繩子有一定的長度，可將其分成許多長度很小的繩元，因為每一個繩元都對動滑輪有力的作用，所以動滑輪受到的繩子的力為一個空間力系．空間力系可以向空間任一點等效簡化為一個合力和一個合力偶矩，合力偶矩為力系中每一個力對于簡化中心點的力矩之和[3]．可以將繩子對動滑輪作用的空間力系向動滑輪軸心簡化．

由于動滑輪質心在做勻速直線運動，加速度為零，由質心運動定理可知繩子對動滑輪的合力的大小剛好等于動滑輪和物體的總重量，方向豎直向上；又根據定軸轉動定理[2]，可知繩子對動滑輪的力對于軸心的力矩之和也為零．綜合可得：繩子對動滑輪的力可等效簡化為一個作用點在動滑輪軸心，大小等于動滑輪和物體的總重量，方向豎直向上的力．因為動滑輪在水平方向的位移與力的方向垂直，沒有產生功，可得此時的總功大小與豎直拉繩時完全一樣．所以，對于忽略繩重和輪軸處摩擦的理想滑輪，斜著拉動時與豎直拉動時相比，動滑輪的機械效率不變．