點電荷落至無限大接地導體平板的時間

陳向正

(重慶市清華中學 重慶 400054)

曹 鵬

(重慶市實驗中學 重慶 401320)

李 力

(重慶市清華中學 重慶 400054)

文獻[1,2]里研究了如下問題：一個質量為m，帶電荷量為q的點電荷，靜置于一塊無限大的接地導體板附近，二者的間距為d.釋放點電荷后，在不計點電荷所受重力、空氣阻力以及相對論效應的情況下，求點電荷到達導體板需要的時間.

在點電荷附近的無限大接地導體板，由于點電荷電場的作用，導體表面會出現感應電荷.感應電荷對點電荷的作用力等于鏡像電荷對點電荷的庫侖力.在其作用下，點電荷將被曳引到導體板的上表面.因為像電荷的電荷量不變，而位置與運動點電荷關于平面鏡像對稱變化，容易轉化為固定力心的開普勒問題，從而可用開普勒第三定律解決.

遵循上述思路，文獻[1，2]給出了解答.然而文獻[1]的解答過于簡略，沒有詳細推導過程.文獻[2]則缺少“作固定力心處理”這一關鍵細節的交待，以至于難以理解將庫侖力變換為萬有引力后，點電荷m(q)的施力物體質量M的表達式是如何得出的.現遵循文獻[1，2]的思路，詳細、完整地解答如下.

如圖1所示，以點電荷q在板上的投影點O為原點，水平向右為正方向，建立x軸.設某時刻點電荷q和像電荷-q的坐標分別為x，-x，對q用牛頓第二定律，有

(1)

圖1 點電荷在鏡像電荷引力作用下的運動

(2)

質點m(q)的運動可視為一個極“扁”退化后呈直線段的橢圓軌道運動.由于釋放點v=0(最小)，而落至O點時的速度v最大，故這兩點相當于橢圓長軸的兩端點，從而半長軸為

設質點m(q)到達金屬板的時間為Td，正好為軌道周期T的一半.將

代入開普勒第三定律

得

文獻[3]研究了在大范圍內質點僅受地球萬有引力時，自離地面H遠處自由下落至地面的時間.在這個新問題中，地球應視為質量分布均勻的球體而非質點(圖2)，則受力物體m的運動軌跡為退化的橢圓軌道上一段長短任意的弧，落地時間也就不等于橢圓軌道周期的一半了.如硬要用前述方法求解運動時間，則需用繁瑣而難懂的初等幾何技巧求出矢徑掃過的面積，再用開普勒第三定律聯立求解[4]，整個過程非常復雜.

圖2 質點在地球萬有引力作用下的運動

鑒于此，本文針對文獻[1,2]的問題再介紹兩種方法，它們對于文獻[1,2] 包括文獻[4]的問題，都同樣的簡捷而普適.

另解一(大范圍自由落體運動公式法)：文獻[3]得出了大范圍的自由落體運動落地時間T的表達式

(3)

其中M為地球質量，R為地球半徑，H為靜止下落的初始高度.只需令

由H=d且R=0(即M縮為一個質點)，代入式(3)，化簡即得

另解二(動力學方程積分法)：利用

把式(1)化為

則

積分得

作變換

得

最后順便指出，現在的中學奧賽輔導中有不少技巧性很高的初等方法，但多局限于解決一些特殊簡單的情況.其實現行人教版《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2》對“導數”、“微積分的基本原理”及“定積分在幾何、物理中的應用”已有不少介紹，許多省市的高考數學試題的壓軸題也涉及導數知識，甚至對定積分也有相應的考查.在這樣的背景下，不妨向優秀學生介紹一些力所能及的微積分方法，畢竟學生在后續的學習中使用微積分方法處理問題是大勢所趨，更有意義的是盡量規避由初等技巧帶來的對思維的束縛，讓學生在以后高等知識的學習、研究中更具活力和創造性.