概率統計建模問題探究

歐陽群壯

《普通高中數學課程標準修訂》提出，我國中學生在數學學習中，應培養好六大核心素養，數學建模就是六大數學核心素養之一.高考相當重視數學建模思想的考查，并以日常的生產、生活、經濟、社會熱點、我國傳統文化等為背景設計試題.從簡單的概率統計問題到綜合的概率統計問題，試題非常注重理論聯系生活實際，考核學生的數學建模等數學核心素養，考查的數學模型有古典概率、幾何概型、線性回歸模型等.下面以部分高考數學題為載體進行探究.

1. 古典概率.它是最基本的概率模型，主要考查古典概型的特征及概率計算公式.

【例1】 （2014年全國新課標Ⅰ卷）4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（ ）.

A. [18] B. [38] C. [58] D. [78]

解析：由題意知4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動有24種情況，而4位同學都選周六有1種情況，4位都選周日有1種情況，故周六、周日都有同學參加公益活動的概率為[P=24-1-124=78] ，故選D.

[點評]試題考查了概率的基本知識和方法，教師應該引導考生關注生活中的數學問題，增強數學應用意識.

2.幾何概型.主要考查幾何概型和幾何概率的計算方法.

【例2】 （2017年全國新課標Ⅰ卷）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（ ）.

A .[14] B .[π8] C .[12] D . [π4]

解析：在正方形內隨機取一點，試驗的全部結果構成了正方形ABCD圍成的區域.設A表示事件“在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分”，那么事件A中的試驗結果構成了正方形ABCD中的陰影部分.由題意，這是一個幾何概型的問題.設正方形的邊長為[a]，則正方形ABCD的面積[a2]，陰影部分的面積為[π8a2]，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率為[P（A）=π8a2a2=π8]. 故選B.

[點評]本題以我國古代的太極圖為情境設計了一個簡單的概率問題，試題考查幾何概型及幾何概率的計算，同時引導考生熱愛我國傳統文化，學習傳統文化，引領考生關注生活中的數學問題.

3. 二項分布.對二項分布基本知識的掌握、理解及應用程度進行考查.

【例3】 （2017年全國新課標卷）一批產品的二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數，則DX= .

解析：因為是從一個總體中有放回地重復抽樣，X就是獨立重復試驗中一個事件發生的次數，故服從二項分布. 因為[n=100，p=0.02]，故[DX=100]×0.02×（1-0.02）= 1.96.

[點評]本題以產品抽樣問題為載體，設計了一個求隨機變量X的方差問題.要求考生根據二項分布知識，判別X服從二項分布，利用二項分布的數字特征求解.背景符合社會實際，有現實意義，體現了概率統計知識在解決實際問題中的應用.

4. 互斥事件、條件概率、分布列等模型.側重考查應用其概念及計算方法解決實際問題的能力.

【例4】 （2016年全國新課標Ⅰ卷）某險種的基本保費為a（單位：元），繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：

所以續保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.

[點評]試題考查互斥事件、條件概率、分布列等模型，通過概率、數學期望的計算考查學生的運算能力，通過隨機變量的分布列考查學生的數據處理能力，利用貼近生活的實際問題考查學生分析問題、解決問題的能力和數學建模方法.

5. 線性回歸模型.它是一種重要的統計模型，在生產實踐中有著廣泛的應用.

【例5】 （2015年全國新課標卷）某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y （單位：千元）的數據如下表：

（Ⅰ）求y關于t的線性回歸方程；（已知b=0.5）

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.

解析：（Ⅰ）由所給數據計算得：[t][=17（1+2+3+4+5+6+7）=4]，

[y]= [17（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3]，

[i=17（ti-t）2=9+4+1+0+1+4+9=28，]

[i=17（ti-t）（yi-y）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，]

[b]= [i=17（ti-t）（yi-y）i=17（ti-t）2=1428=0.5，] [a]= [y]- [bt] =

4.3[-]0.5×4= 2.3，所求回歸方程為 [y]= [0.5t+2.3] .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， [b]=0.5 >0，故2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 將2015年的年份代號[t=9]代入（Ⅰ）中的回歸方程，得[y]=0.5×9 + 2.3=6.8， 故預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元.

[點評]本題以“農村居民家庭人均純收入”這一重要社會經濟指標為載體，要求考生根據若干年的數據建立線性回歸方程并進行統計分析，考查了考生對線性回歸方程理論的掌握和理解程度以及計算、數據處理的能力，并考查了利用所學知識解決實際問題的能力.該題貼近生活，源于實際，要求考生理論聯系生活實際，體現了課程標準對中學數學課程內容改革的主旨精神.

（責任編輯 黃桂堅）