常見離散型概率分布及其聯系

邵逸辰

摘 要：本文在第一部分主要介紹了五種常見的離散型隨機變量，其中前四種隨機變量主要是和伯努利試驗相關的隨機變量，并且詳細計算了前四種隨機變量的數學期望。本文在第二部分主要探討了超幾何分布和二項分布的關系，并給出了極限意義下超幾何分布逼近二項分布的結論。

關鍵詞：離散型隨機變量 數學期望 極限分布

一、常見離散型概率分布及其數學期望

本小節主要介紹一些常見的古典概率模型，并簡單計算出這些常見離散型隨機變量的數學期望。[1]

1.伯努利分布

2.二項分布

二項分布是伯努利分布的推廣，在n次伯努利試驗中，我們定義隨機變量X2為事件A發生的次數，則稱隨機變量X2服從二項分布，記作。

3.幾何分布

假設某人射擊每次中靶的概率為p，并且每次射擊互不影響，（相當于n次伯努利試驗），若將射擊進行到有一次中靶為止，我們定義隨機變量X3為總共射擊的次數。我們稱隨機變量X3服從幾何分布，記作。

4.帕斯卡分布

帕斯卡分布是幾何分布的推廣，假設某人射擊每次中靶的概率為P，并且每次射擊互不影響，若將射擊進行到有r（這里r為正整數）次中靶為止，我們定于隨機變量X4為總共射擊的次數。我們稱隨機變量X 4服從帕斯卡分布，記作[3]

5.超幾何分布

假定在N件產品中有件M次品，其余產品為正品，在N件產品中隨機抽取n件產品，記X5為次品件數，則稱隨機變量X5服從超幾何分布，記作。

二、離散型隨機變量之間的聯系

超幾何分布與二項分布在極限意義下是統一的，即超幾何分布在極限意義下（總產品數N足夠多時）逼近二項分布，在下文我們給出這個結論。

故當N足夠大時，超幾何分布逼近了二項分布。

從超幾何分布和二項分布所代表的實際意義來看，我們假設次品總數M占產品總數N的比例一定，也就是說次品的概率是確定的，并且當產品總數N足夠多，抽取的產品數n比較少時，我們進行有放回的抽取產品和無放回的抽取產品，抽到次品的概率幾乎是不變的，也就是說從所有產品抽取n件產品出來，可以看作是一件一件抽取出來的，即可以看作是n次獨立重復試驗，這樣超幾何分布在極限意義下（總產品數N足夠多時）逼近二項分布。

結語

本文所介紹的伯努利分布、二項分布、幾何分布和帕斯卡分布都是和伯努利試驗相關的概率分布，但超幾何分布并非和伯努利試驗相關的概率分布，主要系從超幾何分布實際意義來看，抽取產品是無放回的，但當總產品數N足夠多時，無放回的抽取產品可以看為伯努利試驗，這樣超幾何分布也可以看作是和伯努利試驗相關的概率分布。

參考文獻

[1]莊光明.于興江.劉啟德.孫守斌.基于伯努利試驗的概率分布及其應用[J].聊城大學學報（自然科學版）自然科學版.2009.22（3）：34-37.

[2]曹四清.相映生輝的四種概率分布[J].中學生數理化：嘗試創新版.2013（2）.

[3]李娜.王磊.淺談二項分布與超幾何分布的數學期望[J].科技信息.2010（28）：544.