巧設樣例突破“相似”

濮維

摘 要：樣例學習是提高學生學習效率的有效學習方式之一，通過研習樣例可以提高學習效率，有較好的遷移效果，而且還能減輕學生學習時的認知負荷。本文以“圖形的相似”一章為例，設計了“樣例——問題對”“不完整樣例”“漸減提示法樣例”，突出樣例中的評論部分，促進學生的自我解釋，通過樣例學習突破相似難點。

關鍵詞：樣例學習；圖形的相似；樣例呈現

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）11-073-2

本文中的樣例是指數學的問題、解答及評論的組合體，問題部分對要求學生解決的問題進行陳述，解答部分逐步描述問題解決的步驟，評論部分則解釋采取每一步的理由或根據。樣例不僅要起到樣板或示范作用，更重要的是讓學生從樣例的評論或點撥中理解概念的內涵以及幾何性質或推理的作用，進一步激發學生自主學習的興趣。下面結合“圖形的相似”，設計了三種樣例呈現方式，談談幾何教學中的樣例學習。

一、“樣例——問題”對

“樣例——問題”對有兩種組織方式：交互式和分塊式。交互式即為樣例1，練習1，…，樣例6，練習6。分塊式為樣例1，…，樣例6，練習1，…，練習6。實驗研究表明，交互式是更為有效的問題呈現方式。

例1 若a=1cm，b=3cm，c=2cm，d=6cm，則a、b、c、d是成比例線段嗎？

解：∵ab=13，cd=26=13（分別求出兩條線段的比，注意線段的比的順序）

∴ab=cd（判斷兩線段的比是否相等）∴a、b、c、d是成比例線段。

練習：若a=3cm，b=6cm，c=9cm，d=18cm，則a、b、c、d是成比例線段嗎？

例2 若a=1cm，b=4cm，c=8cm，d=4cm，則a、b、c、d是成比例線段嗎？

解：∵ab=14，cd=84=2，∴ab≠cd，∴a、b、c、d不是成比例線段。

練習：若a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=4cm，則a、b、c、d是成比例線段嗎？

例3 已知a、b、c、d是成比例線段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求線段d的長。

解：∵a、b、c、d是成比例線段，

∴ab=cd，即32=6d，∴d=4。

練習：已知三條線段3cm，8cm，10cm，在后面再添個數，使它們組成成比例線段。

評論：當“a、b、c、d四條線段成比例”時，滿足ab=cd，a、b、c、d四條線段是有順序的，不能顛倒。根據成比例線段的概念，一是可以用來判斷所給的四條線段是否成比例；二是已知三條線段可以求第四條線段的長度。

上面的3個樣例，成比例線段的概念是在線段的比的基礎上定義的，以例1到例4樣例——問題對的形式，將這個概念的判斷、概念的應用等都包含在內，達到對概念全面的了解和把握。

二、不完整樣例

不完整樣例是指刪除了部分解題步驟的樣例。所謂“關鍵步驟”是指學生在樣例學習中難以獨自直接理解和掌握的解題或運算步驟。在不完整樣例中，如果刪除了關鍵步驟，學生很難通過它的前后解題步驟和已有知識補寫出該步驟。所謂“非關鍵步驟”是學生在樣例學習中利用已有知識很容易理解和掌握的解題或運算步驟。在不完整樣例中如果刪除了非關鍵步驟，學生也能根據它的前后解題步驟和已有知識補寫出該步驟。

在幾何樣例設計中，對不完整樣例的設計，對刪除的步驟要認真加以斟酌，刪除非關鍵步驟可以幫助學生復習已經掌握的知識，提高學生對解題步驟的自我解釋。刪除關鍵步驟可以促使學生進行獨立的思考，老師要根據學生的特點和教學的目的，確定不完整樣例中的刪除的步驟。

例4 在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，需要添加什么條件？

（1）∵∠B=∠B′， = ，

∴△ABC∽△A′B′C′（兩角對應相等的兩三角形相似）

（2）∵∠B=∠B′， = ，

∴△ABC∽△A′B′C′。（兩角對應相等的兩三角形相似）

（3）∵∠B=∠B′， = ，

∴△ABC∽△A′B′C′。（兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似）

評論：根據相似三角形的判定條件，已知一角，要么找另一對角相等，要么找這個角的兩邊對應成比例。但是在運用“兩邊對應成比例且夾角相等”證明三角形相似時，必須是兩邊的夾角，在本題中，是∠B和∠B′的兩邊對應成比例。

三、樣例的漸減提示法

刑強、莫雷通過研究認為，應該還存在比不完整樣例或樣例問題對更為有效的樣例呈現途徑。在樣例學習時如果逐漸的、連續的把問題解決引入樣例學習之中，直到最后只剩下問題讓學習者解決，這樣更有利于提高學習的效果，稱這種組織樣呈現的方式為漸減提示法。首先呈現完整樣例，然后，呈現的樣例減少一步，接著逐漸減少步驟到最后剩下問題去解決。

相似三角形的性質中，相似三角形的面積比的問題是最常見的類型，在中考中頻繁出現，難度也比較大，對學生來說是個學習的難點。由于相似三角形的面積比等于相似比的平方這個性質容易與一般三角形面積比混淆，在設計樣例時選擇了六個小問題，從基本問題逐步過渡到綜合性較強的問題，滿足不同層次的學生需求，各個樣例中通過解釋性語句，漸減提示呈現樣例，同時對樣例進行變式，讓學生辨析性質的用法，根據自己的實際情況掌握性質。

例5 （1）若△ABC∽△DEF，它們的面積比為4∶1，則△ABC與△DEF的相似比為 。

解：相似三角形的面積比等于相似比的平方，則相似三角形的相似比就等于面積比的算術平方根，相似比為2∶1。

（2）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，則△ABC與△DEF的面積比為 。

解：∵△ABC∽△DEF，∴△ABC與△DEF的相似比等于周長比為3∶1，

∴△ABC與△DEF的面積比為相似比的平方為 。

（3）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，若AD=1，BC=3，△AOD的面積為3，則△BOC的面積為 。

解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，

∴S△ADO∶SBCO=（ADBC）2=（ ）2= ，∴S△BOC= = 。

（4）如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于點E，S△ADE∶SADC=1∶3，那么S△ADE∶S△CBE= 。

解析：（△ADE與△ADC的面積之比如何轉換成可以應用的條件？）

∵S△ADE∶S△ADC=1∶3，∴S△ADE∶S△EDC=1∶2。

（△ADE與△EDC是同高的兩個三角形，將三角形的面積之比轉換為底邊之比）

∴AE∶CE=S△ADE∶S△EDC=1∶2。（下面請自己完成）

評論：第（4）小題的關鍵在于S△ADE∶S△ADC=1∶3條件的轉換，而△ADE與△EDC是兩個同高的三角形，面積比等于底邊之比。“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”應用的前提是“相似三角形”，在運用時要分清條件，特別注意等高同底時兩個三角形的面積比與底邊比的關系。

（5）如圖3，在□ABCD中，F是AB邊上一點，DF交AC于點E，且AE∶EC=1∶2，

則△AEF的面積：四邊形BCEF的面積= 。

解析：四邊形BCEF的面積可以通過△ABC減去△AEF的面積來求解，而△ABC的面積等于△ACD的面積，請你根據提示完成。

（6）如圖4，梯形ABCD的兩條對角線與兩底所圍成的兩個三角形的面積分別為p2、q2，則梯形的面積為 。

（你能完成這個問題嗎？試試看）

評論：本題的6個題問題都是“相似三角形面積之比等于相似比的平方”這一性質的應用，使用時要注意“相似三角形”這個大前提，要注意與“同高的兩個三角形的面積比等于底邊之比”的區別，正確運用性質解決問題。

樣例的呈現方式是多樣化的，教師在備課時應該對例題做必要的修改或再加工，然后在課上以“樣例——問題對”、“不完整樣例”或者“漸減式的樣例”等呈現方式針對不同的問題做出選擇。與此同時，教師在設計例題時要注重基礎題，注意例題之間的聯系，將例題盡可能地串聯，并可變化問題的條件或結論，做到一題多變，一題多解。此外，教師在課堂上也要注意多種信息的整合，減輕學生的認知負荷，以達到良好的教學效果。

[參考文獻]

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