淺談求解常微分方程中的增失根問題

侯曉麗 李永鳳

【摘要】求解微分方程是常微分方程課程中非常重要的內容，求解過程中難免會出現增失根問題。本文對增失根的原因進行了深入的討論，并給出了一些有益的建議。

【關鍵詞】常微分方程 增根 失根

【基金項目】本文由“鄭州輕工業學院第三批青年教師教學改革與研究項目”、“鄭州輕工業學院第十一批教改項目”資助。

【中圖分類號】G4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）07-0107-02

在常微分方程中，相當一部分內容就是求微分方程的解，例如：一階顯式微分方程的求解、一階隱式微分方程的求解、高階線性或非線性微分方程的求解、一階線性微分方程組的求解以及求微分方程的求解等，求解過程中不可避免的會做變量替換，或對方程兩邊積分或求導等運算，都會產生增根或失去方程的某個根，尤其是非線性微分方程，沒有固定的解法且求解過程相對復雜，更易產生增失根問題。本文對幾類常見的微分方程的增失根問題進行分析。

一、對方程做恒等變形時易失根

例：求解微分方程x =y-1

解：兩邊分離變量得： = ，

兩邊積分得方程的解為y-1=Cex，其中C為非零常數。

顯然方程有一失根y=1。

例：求解方程ydx+（y-x）dy=0

解：方程有積分因子μ= ，以積分因子乘方程兩邊得 + =0

因而通解為 +lny=c。顯然y=0也是方程的根。

這種情況還有很多，例如伯努利方程，做變換z=y-n化為一階線性微分方程時易失根y=0。

解決辦法：變換前先檢查方程有沒有常值解滿足方程，找出這些解后再對方程做變換或變量分離，避免失根。

二、過度求導會產生增根

對一階隱式微分方程，當方程中不顯含x時，一般的做法就是令y'=p，把方程化為關于y和p的方程，然后兩邊再關于x求導，化為關于p和x的一階微分方程，求出p后代入y的表達式，即得方程的解。例

y'2-2y=0 令y'=p，則得y= p2，兩邊關于x求導，得2p =2y'=2p故p=0或 =1。由p=0得y=c1，由 =1得p=x+c2

從而原方程的解為y= （x+c2）2

現在把方程稍微改動一下，變為

y'2-2y'=0 同樣令y'=p，則得p2-2p=0，

故p=0或p=2。由p=0得y=c1，由p=2得y=2x+c2

故原方程的解為y=c1或y=2x+c2

授課過程中發現有相當多的同學是這樣做的：

y'2-2y'=0同樣令y'=p，則得p2-2p=0，

因為方程是隱式方程，不顯含x，兩邊對x直接求導得

2p -2 =0，解得p=1和 =0，于是方程的解為y=x+c1或y=2x+c2，顯然過度求導后方程失去了根y=c1，卻增加了根y=x+c1。

解決方法：解方程過程中盡量避免對方程求導，確需求導的最后一定要對所求根進行檢驗。

三、兩邊求積分時定義域發生改變會產生增失根

微分方程最后都是通過積分得到方程的解。在對方程兩邊求積分過程中有時會導致其定義域發生改變，從而可能產生增根或失根，尤其是對一階線性微分方程用公式求解更易導致定義域發生改變。

例：求解微分方程y'- y=x

這是一個簡單的一階線性微分方程，由求解公式得

y=e （ Q（x）e dx+c）

=e （ xe dx+c）

=x（x+c）=cx+x2

由原方程知定義域要求自變量x不能等于0，但方程的解中沒有這個限制，因此方程的解中包含了一個增根。故原方程的通解為y=cx+x2， x≠0。

以上是求解微分方程過程中最常見的產生增根或失根的原因，當然還有其他原因，例如把常數換成對數常數，求積分過程中加絕對值符號、馬虎等都會導致增失根。因此，求解微分方程時要注意這些增失根現象，求解方程后要加強對根的檢驗，只有這樣才能準確圓滿的解得方程的所有解。

參考文獻：

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