關注“優解”，提升能力

江永倫

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）07-0116-01

不少三角恒等變換類試題，往往我們會做，但總會感覺比較麻煩一些，那么如何實現“優解”就顯得非常重要！請看以下歸類解析。

類型一、借助“弦切”互化，實施優解

例1：已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）

A.- B. C. - D.

解析：（通解）因為tanθ=2>0，所以角θ的終邊在一、三象限，從而討論如下：

若角θ的終邊在第一象限，則由tanθ=2可得sinθ= ，cosθ= ，所以sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）2+ × -2×（ ）2=

若角θ的終邊在第三象限，則由tanθ=2可得sinθ=- ，cosθ=- ，所以sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（- ）2+（- ）×（- ）-2×（- ）2= .

綜上，必有sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= ，故選D。

（優解）因為sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= = = = = ，故選D。

評注：上述通解需要分情況討論，顯然較繁；而優解較為簡捷，但需關注兩個常用變形技巧——①將所求式分母中的“1”等量代換為sin2θ+cos2θ；②對分式 的分子、分母同時除以cos2θ，有利于弦變切。

能力提升：處理三角函數中有關弦切混合問題時，有時需要將正、余弦形式全部轉化為正切的形式便于求解；反之，有時需要將正切的形式全部轉化為正、余弦的形式便于求解。

類型二、借助“換元”轉化，實施優解

例2：已知sin（x- ）+ cosx= ，則sin（2x+ ）=_____.

解析：由sin（x- ）+ cosx= ，得 sinx- cosx+ cosx= ，所以 sinx+ cosx= ，所以sin（x+ ）= .

接下來，有兩種不同的思路：

方法一：（通解）sin（2x+ ）=-cos[ +（2x+ ）]=-cos2（x+ ）=2sin2（x+ ）-1=2×（ ）2-1=-

. 方法二：（優解）設x+ =θ，則x=θ- ，sinθ= ，所以sin（2x+ ）=sin（2θ- + ）=sin（2θ- ）=-sin（ -2θ）=-cos2θ=2sin2θ-1=2×（ ）2-1=-

評注：上述通解的難點在于靈活選取誘導公式加以適當變形（盡管書寫過程看起來似乎簡單一些）；而優解在“換元”基礎上，整個思路比較流暢、自然，故值得關注！

能力提升：處理有關三角函數求值問題時，有時需將表示“角”的代數式看作一個整體，借助“換元”的形式，有利于進一步分析、解決問題。

類型三、借助“加減”變形，實施優解

例3：已知tan（α+β+γ）=mtan（α-β+γ），且sin2（α+γ）=5sin2β，則實數m=_____.

解析：（通解）因為tan（α+β+γ）=mtan（α-β+γ），

所以 =m· .

為了便于書寫，記tan（α+γ）=a，tanβ=b，則 =m· ，變形整理可得 = · . ①

因為sin2（α+γ）=5sin2β，所以 = ，所以 = ，即 = ，化簡得 =5· . ②

于是，根據①②可得 =5，解得所求實數m= .

（優解）設A=α+β+γ，B=α-β+γ，則2（α+γ）=A+B，2β=A-B.

又因為sin2（α+γ）=5sin2β，所以sin（A+B）=5sin（A-B）， 所以展開得sinAcosB+cosAsinB=5（sinAcosB-cosAsinB），所以化簡得6cosAsinB=4sinAcosB，所以2tanA=3tanB.

故所求實數m= = .

評注：上述通解的關鍵是先根據α+β+γ=（α+γ）+β，α-β+γ=（α+γ）-β以及和差角公式得到關于tan（α+γ）和tanβ的一個表達式，然后再根據二倍角公式以及弦變切思想得到關于tan（α+γ）和tanβ的另一個表達式，以便構建關于m的等式，顯然較繁；而優解較為簡捷，其突破口在于將2（α+γ）變形為（α+β+γ）+（α-β+γ），將2β變形為（α+β+γ）-（α-β+γ），不但為靈活運用和差角公式創造了有利條件，而且也將已知條件與求解目標緊密地聯系起來，真可謂“一箭雙雕”。

能力提升：有意識地考慮“角”與“角”之間的“加減”聯系，往往可為靈活利用和差角公式及題設條件創造有利條件，優化解題思維。

綜上，關注“優解”，有利于優化我們的解題思維，進一步提升解題的技能技巧，且學且悟且應用！