淺談含參數一元二次不等式的解法

陳新元

【摘要】一元二次不等式及其解法是高中數學中的重點，也是學習的一個難點。結合具體的實例，闡述含參數，不討論；討論兩根大?。挥懻撆袆e式△與0的關系；討論二次項前的系數等對含參數一元二次不等式的解法理解。又討論了高考中含參數一元二次不等式常常與導數聯系在一起考查——含參函數的單調性的討論等問題。

【關鍵詞】一元二次不等式 含參數 解法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）07-0131-01

一、仔細審題，分清類型

1.含參數，不討論

例1：解關于x的不等式：x2-（2m+1）x+m2+m<0

解析：方程x2-（2m+1）x+m2+m=0的解為x1=m，x2=m+1，且知m

2.討論兩根大小

例2：解關于x的不等式：x2+（1-a）x-a<0

解析：方程x2+（1-a）x-a=0的解為x1=-1，x2=a，函數y=x2+（1-a）x-a的圖像開口向上，所以當a<-1時，原不等式的解集為（a，-1）；當a=-1時，原不等式的解集為？覫；當a>-1時，原不等式的解集為（-1，a）。

方法歸納：本例中確定了方程有兩個根，但不能確定兩根的大小，要討論兩根的大小，從x1>x2，x1=x2，x1

3.討論判別式△與0的關系

例3：設00}，B={x/2x2-3（1+a）x+6a>0}，D=A∩B，求集合D（用區間表示）。

解析：令g（x）=2x2-3（1+a）x+6a，

△=9（a+1）2-48a=9a2-30a+9=9（a-3）（a- ）。

（1）當

（2）當a= 時，g（x）=2x2-4x+2>0， ∴B={x/x≠1} ∴D=（0，1）∪（1，+∞）.

（3）當00，g（x）=0的兩個根為

x1= ， x2=

∵（3a+3）2-（9a2-30a+9）=48a>0

∴x1>x2>0，∴B={x/xx2}

∴D=（0， ）∪（ ，+∞）

方法歸納：本例中在解方程時，要先判斷方程解的個數，討論判別式△與0的關系，從△>0， △=0，△<0三個方面進行討論。在△>0時，方程有兩個根，還要確定兩根的大小，如果不能確定，要討論兩根的大小關系。最后再通過觀察函數的圖像，從而確定原不等式的解集。

二、學會運用，聯系高考

學習的目的不是死記知識，而是為了更好的運用，高考中含參數一元二次不等式常常與導數聯系在一起考查——含參函數的單調性的討論。下面通過具體的實例來體會一下。

例5：已知函數f（x）=（2x2-3x+a）·ex（a∈R）

（1）求函數f（x）的單調性；

（2）當a=0時，方程f（x）=t有且僅有一個實根，求實數t的取值范圍。

解析：（1）函數的定義域為R

f '（x）=（2x2-3x+a）'ex+（2x2-3x+a）（ex）'=（4x-3）ex+（2x2

-3x+a）ex=[2x2+x+（a-3）]ex

當△≤0，即a≥ 時， 2x2+x+（a-3）≥0恒成立，又ex>0，所以f '（x）≥0恒成立，故函數f（x）在R上單調遞增，沒有遞減區間。

當△>0，即a< 時，方程2x2+x+（a-3）=0有兩個不同的根x1= ，x2= ，且x10，又ex>0，所以f '（x）>0，故函數f（x）在區間（-∞，x1）和（x2，+∞）上單調遞增；當x∈（x1，x2）時，2x2+x+（a-3）<0，又ex>0，所以f '（x）<0，故函數f（x）在區間（x1，x2）上單調遞減。

綜上：當a≥ 時，函數f（x）在R上單調遞增，沒有遞減區間；當a< 時，函數f（x）在區間（-∞，x1）和（x2，+∞）上單調遞增，在區間（x1，x2）上單調遞減。

（3）當a=0時，f（x）=（2x2-3x）ex

方程f（x）=t有且僅有一個實根，即函數y=f（x）的圖像與直線y=t有且僅有一個交點。

而f '（x）=（2x2+x-3）ex，令f '（x）<0，得2x2+x-3<0，解得-

所以函數的極大值為f（- ）=9e ，極小值為f（1）=-e。

因為x<0時，f（x）>0，所以當t>9e 或t=-e時，函數y=f（x）的圖像與直線y=t有且僅有一個交點。

所以實數的取值范圍是t/t=-e或t>9e

技巧點撥：該題的第（1）問屬于典型的高考命題熱點問題——含參函數的單調性討論，需要根據導函數解析式中變號的部分，也就是二次代數式的符號進行分類討論，可以結合二次函數圖像的特征，討論判別式△與0的關系，根據導函數符號的變化討論單調性。

參考文獻：

[1]王曉艷.解含參數的一元二次不等式的分類方法[J].中學教學參考，2010（26）.

[2]李妍華，楊平.含參數的一元二次不等式的輕松破解[J].上海中學數學，2012（10）.