對一般三棱錐的綜合探究

劉宇

【摘要】本文針對已知三棱錐的交于同一頂點的三條棱的長度及其相互夾角大小的情況，對三棱錐進行了綜合探究，探究出了該條件下三棱錐的體積式，并將其用于證明了奔馳定理在空間中的類推式。在此基礎上，本文引出了一種求物體高度與線面角的方法，并探究出了該已知條件下三棱錐的內接球半徑式與外接球半徑式。

【關鍵詞】三棱錐 體積式 奔馳定理 內接球半徑式 外接球半徑式

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）07-0142-03

引言

在許多問題的解決中，人們有時需要求出非特殊三棱錐的體積、外接球半徑或內接球半徑。而在實際生活中，人們往往難以用簡單的測量工具精確地測量出其高度（特別是在該三棱錐的頂點與其到底面的射影間有三棱錐自身的遮擋時）進而計算得出其體積。而且，目前公眾視野中的用長度與角度表示的三棱錐的外接球半徑與內接球半徑的通式還相對難尋，以至人們有時在求非特殊三棱錐的內接球半徑或外接球半徑時感到不那么容易。而本文通過對一般三棱錐進行的綜合探究，得到了在已知三棱錐的交于同一頂點的三條棱的長及其相互夾角的情況下該三棱錐的體積式、內接球半徑式以及外接球半徑式，我們僅需使用量角器與足夠長的米尺測量出相應的量，即可得出線面角、物體高度、三棱錐體積、其內接球半徑與其外接球半徑的較為精確的值。

筆者最初的目的僅是想運用證明奔馳定理的類似方法證明其在空間中的類推式，而用上述條件表示的三棱錐體積式是筆者為了讓證明順利進行才探究出來的，故筆者將三棱錐體積式的探究與奔馳定理在空間中的類推式放在同一個板塊論述。

1.體積式及其應用

1.1體積式的求得

如圖1（僅表示點在三棱錐中的分布位置，不表示三棱錐的具體形狀），在任意形狀的三棱錐O-ABC中，測得：|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c，∠AOB=x，∠BOC=y，∠AOC=z 。設二面角A-OB-C為θ（θ未知）則三棱錐的體積VO-ABC滿足關系式：

VO-ABC= abcsinxsinysinθ （1.1-1）

由三面角第一余弦定理：cosz=cosxcosy+sinxsinycosθ（1.1-2）

而由θ，x，y∈（0，π）知sinθ>0，sinx>0，siny>0 知：

sinθ= = （1.1-3）

代（1.1-3）入（1.1-1）即得到：

VO-ABC= （1.1-4）

1.2奔馳定理的空間類推式的證明

如圖2（僅表示點在三棱錐中的分布位置，不表示三棱錐的具體形狀），已知：O為任意形狀的三棱錐D-ABC內的任意一點。

猜想：VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0

證明：設∠AOB=x，∠BOC=y，∠COA=z，∠DOA=θ，∠DOB=β，∠DOC=γ

另設一輔助三棱錐D'-A'B'C'如圖3，使∠A'O'B'=x，∠B'O'C'=y，∠C'O'A'=z，∠D'O'A'=θ，∠D'O'B'=β，∠D'O'C'=γ，

A'O'= ；

B'O'= ；

C'O'= ；

D'O'= ；

則：

∵由（1.1-4）知：

A'O'·B'O'·C'O'·D'O'=VO'-A'B'C'=VO'-B'C'D=VO'-C'D'A=VO'-D'A'B

∴O'為三棱錐D'-A'B'C'重心

∴ + + + =0 （1.2-1）

令 與 同向，由∠DOA=θ=∠D'O'A'知此基礎上還可令 與 同向，此后由∠DOB=β=∠D'O'B'；∠DOC=γ=∠D'O'C'知 與 同向， 與 同向

∴（1.2-1）變為：A'O'· +B'O'· +C'O'· +D'O'· =0（1.2-2）

∴代數據入（1.2-2）并化簡得：

·OB·OC·OD·

+ ·OA·OC·OD·

+ ·OA·OB·OD·

+ ·OA·OB·OC· =0 （1.2-3）

而代相應的數據入（1.1-4），得到：

VO-BCD=BO·CO·DO· （1.2-4）

VO-ACD=AO·CO·DO· （1.2-5）

VO-ABD=AO·BO·DO· （1.2-6）

VO-ABC=AO·BO·CO· （1.2-7）

代（1.2-4）（1.2-5）（1.2-6）（1.2-7）入（1.2-3）得：

VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0

1.3間接測量物體高度與線面角

如圖4，物體（未畫出）的最高點為C底面OAB的攝影為D，該物體的高大小即為|CD|。任取參考平面OAB中不重合的三點O、A、B，測量出角AOB為x，角BOC為y，角COA為z，|OC|的長為c。設|OA|=a，|OB|=b，則：

VO-ABC= CD·SOAB= CD·absinx （1.3-1）

聯立（1.1-4）（1.3-1）得：

CD= （1.3-2）

而設直線OC與底面OAB的夾角為θ，則由（1.3-2）知無需測量出|OC|大小即

可得到OC與平面OAB的線面角為：

θ=sin-1 =sin-1

2.內接球半徑式

2.1僅用邊長表示的三角形面積式

已知任意形狀的ΔABC中BC=a，AC=b，AB=c，∠ACB=θ。

則由余弦定理：cosθ= （2.1-1）

∴（sinθ）2=1-（cosθ）2= （2.1-2）

∴S△ABC= = （2.1-3）

2.2內接球半徑式

如圖5（僅表示點在三棱錐中的分布位置，不表示三棱錐的具體形狀），已知在三棱錐O-ABC中，|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c，∠AOB=x，∠BOC=y，∠AOC=z，設：|AB|=d；|BC|=e；|CA|=f；三棱錐O-ABC內接球半徑R內，則：

由余弦定理：d2=a2+b2-2abcosx （2.2-1）

e2=b2+c2-2bccosy （2.2-2）

聯立（2.2-1）（2.2-2）得：

d2e2=b4+a2b2+b2c2+c2a2+4ab2ccosxcosy-2ab3cosx-2b3ccosy-2abc2cosx-2a2bccosy （2.2-3）

同理：

e2f2=c4+a2b2+b2c2+c2a2 +4abc2ccosycosz-2ac3cosz-2bc3cosy-2a2bccosy-2ab2ccosz （2.2-4）

f2d2=a4+a2b2+b2c2+c2a2 +4a2bcccosxcosz-2a3bcosx-2a3ccosz-2ab2ccosz-2abc2cosx （2.2-5）

而由（2.2-1）得：

d4=a4+b4+4a2b2（cosx）2+2a2b2-4a3bcosx-4ab3cosx （2.2-6）

同理：

e4=b4+c4+4b2c2（cosy）2+2b2c2-4b3ccosy-4bc3cosy （2.2-7）

f4=c4+a4+4c2a2（cosz）2+2c2a2-4c3acosz-4ca3cosz （2.2-8）

代相關數據入（2.1-3）得：

S△ABC= （2.2-9）

代（2.2-3）（2.2-4）（2.2-5）（2.2-6）（2.2-7）（2.2-8）入（2.2-9）中化簡得：

S△ABC= · （2.2-10）

運用等體積法：

+ + +S△ABC=VO-ABC（2.2-11）

聯立（1.1-4）（2.2-10）（2.2-11）得：

R內=

3.外接球半徑式

已知三棱錐O-ABC中：|OA|=a；|OB|=b，|OC|=c，∠AOB=x，∠BOC=y，∠AOC=z 。設：|BC|=e，|AB|=d，二面角C-OB-A大小為θ，ΔOBC外接圓半徑為RΔOBC，ΔOBA外接圓半徑為RΔOBA，三棱錐O-ABC外接球半徑為R外，ΔOBC外心N到OB中點D的距離為μ，ΔOBA外心M到D的距離為λ，三棱錐O-ABC外接球球心K到N的距離為f，到M的距離為g 。（設的量均未知）（圖已在下文具體情況的討論中畫出）

易知KN⊥平面OBC，KN⊥ND，KM⊥平面OAB，KM⊥MD，OB⊥AD，OB⊥CD，K、D、N、M四點共面，且由余弦定理：e2=b2+c2-2bccosy （3-1）

由正弦定理： R△OBC= （3-2）

由勾股定理：R△OBC 2= 2 +μ2 （3-3）

聯立（3-1）（3-2）（3-3）得：μ= （3-4）

同理得：λ= （3-5）

①如圖6、圖7（不表示θ的具體大?。敗螼CB與∠OAB均為銳角或均為鈍角即（c-bcosy）（a-bcosx）>0時：

若θ∈（0， ），即cosθ>0，sinθ>0，延長KN與DM交于H如圖8，則：

∠HKM=π-∠NHD-∠KMH=π-∠NHD- =π-∠NHD-∠DNH=θ，

|HN|=μtanθ；|KH|= ， 代這些數據入|NH|=f+|KH|得：

μtanθ=f+ （3.①-1）

同理得：λtanθ=g+ （3.①-2）

聯立（3.①-1）（3.①-2）得： f=

若θ= ，即cosθ=0，sinθ=1，則易知：f=λ=

若θ∈（ ，π），即cosθ<0，sinθ>0，延長KN與DM交于H如圖9，則：

∠NKM=2π-∠NDM-∠DNK-∠DMK=2π-θ- - =（π-θ）∈（0， ）

與3.①同理得：ftan（π-θ）=μ+

化簡得： f=

綜上知在3.①所述情況下有： f= （3.①-3）

聯立（3-4）（3-5）（3.①-3）并根據（c-bcosy）（a-bcosx）>0化簡得：

f2=

②∠OCB與∠OAB一個是銳角，另一個是鈍角，即（c-bcosy）（a-bcosx）<0時：

鈍角所在的三角形的外心在該三角形外部且在另一三角形異側，故：

∠NDM=π-θ，與3.①同理得：f2=

化簡得：f2=

λ與（a-bcosx）取0時即表示∠OAB為直角的情況，μ與（c-bcosy）取0時即表示∠OCB為直角的情況。故綜上知對于任意情況均有：

f2= （3-6）

而由勾股定理：R外= （3-7）

聯立（1.1-2）（1.1-3）（3-3）（3-4）（3-5）（3-6）（3-7）得：

R外=