微積分與大學(xué)教學(xué)課程的聯(lián)系

王知力 周萌

一、 微積分與概率統(tǒng)計(jì)

1.概率統(tǒng)計(jì)課程中微積分的應(yīng)用

概率統(tǒng)計(jì)是建立在微積分的基礎(chǔ)之上的，兩者相互聯(lián)系，共同發(fā)展，特別是隨著天文學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)、力學(xué)、工程學(xué)的發(fā)展，兩者關(guān)系越來(lái)越緊密，主要表現(xiàn)在概率統(tǒng)計(jì)中微積分的應(yīng)用。比如，概率統(tǒng)計(jì)中一些隨機(jī)事件的概率只依賴(lài)于一個(gè)變量，就可以把此概率作為一個(gè)未知函數(shù)，類(lèi)比通過(guò)微分方程確定未知函數(shù)的途徑，由微分的方法可求出所需的概率；在求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的時(shí)候，根據(jù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望與方差的定義，結(jié)合概率分布的特點(diǎn)，可以考慮利用逐項(xiàng)微分的方法去求解，比如，在求服從泊松分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差時(shí)就可以利用逐項(xiàng)微分的方法去求解；在概率統(tǒng)計(jì)課程中很多問(wèn)題都涉及積分的計(jì)算，如已知概率密度函數(shù)求分布函數(shù)，根據(jù)聯(lián)合概率密度函數(shù)求邊緣概率密度函數(shù)，根據(jù)概率密度函數(shù)求數(shù)學(xué)期望等。

2.概率統(tǒng)計(jì)求解微積分中問(wèn)題

微積分中的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)求和，但是對(duì)于某些級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，很難轉(zhuǎn)化成與之對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)，如求證∑—=—時(shí)，就可以考慮利用概率的思想去求。

二、微積分與線性代數(shù)

在教學(xué)過(guò)程中，遇到用微積分去求解線性代數(shù)中的問(wèn)題的很少，但是對(duì)于微積分中的某些難以解決的問(wèn)題，如果結(jié)合線性代數(shù)的思想，就會(huì)很容易解出來(lái)。比如，微積分中求多元函數(shù)在附加條件下的最值問(wèn)題，可以采用拉格朗日乘數(shù)法去求解，但是需要先求駐點(diǎn)，這就需要先求解一個(gè)多元線性方程組，方程組當(dāng)中的每一個(gè)方程是多元函數(shù)對(duì)每一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)等于零的等式。考慮到方程組的形式很復(fù)雜時(shí)，求解過(guò)程就很難的情況，我們可以利用線性代數(shù)中的二次型理論去求函數(shù)的最大值和最小值。

三、微積分與大學(xué)物理課程

在大學(xué)物理課程的學(xué)習(xí)中，利用微積分的方法解決有關(guān)問(wèn)題是一種最基本和用得最廣泛的方法。微分就是在理論分析時(shí)，把分割過(guò)程無(wú)限進(jìn)行下去，局部范圍便無(wú)限小下去。積分就是把無(wú)限小個(gè)微分元求和，這就是微積分的方法。物理學(xué)就是要把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，只考慮問(wèn)題的主要方面，這正是微積分的思想，因此利用微積分求解物理學(xué)中的問(wèn)題是非常有效的。比如，可以利用微積分中的導(dǎo)數(shù)求解變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度和加速度；根據(jù)微分方程的初值問(wèn)題可以由加速度速度函數(shù)求速度函數(shù)，可以由速度函數(shù)求位移函數(shù)等。微積分對(duì)于大學(xué)物理來(lái)說(shuō)，不僅是解題的數(shù)學(xué)工具，更是一種思維方式的滲透。通過(guò)微積分解決不同的物理問(wèn)題，可以掌握微積分中的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而可以替代中學(xué)階段應(yīng)用的代數(shù)運(yùn)算分析方法，解決一些曾經(jīng)解決不了的問(wèn)題。但是在微積分的教學(xué)中，很多教師只是注重微積分的計(jì)算，忽視微積分的概念和基本的思想，由此造成學(xué)生學(xué)習(xí)物理知識(shí)很困難的局面。此外，教師更應(yīng)該把微積分在物理學(xué)中應(yīng)用的例題安排到教學(xué)環(huán)節(jié)中去，這樣可以提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，也可以讓學(xué)生了解到學(xué)習(xí)微積分對(duì)于解決其他學(xué)科問(wèn)題的重要性。

四、結(jié)語(yǔ)

總之，微積分課程在大學(xué)教學(xué)中起到承上啟下的作用，微積分的出現(xiàn)解決了許多初等數(shù)學(xué)解決不了的問(wèn)題，同時(shí)微積分課程中的一些問(wèn)題在單純利用微積分的數(shù)學(xué)方法不容易解決的情況下，可以應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)和線性代數(shù)中處理問(wèn)題的方法去分析，會(huì)收獲意想不到的效果。大學(xué)課程是一個(gè)比較完整的體系，各學(xué)科之間都有一定的聯(lián)系，教師在教學(xué)過(guò)程中要給學(xué)生分析有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)，尤其是像數(shù)學(xué)這種理論性比較強(qiáng)的課程，這樣做一方面可以讓學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解得更透徹，知道它的來(lái)龍去脈，拓寬知識(shí)面，形成完整的知識(shí)體系，而不是死板地學(xué)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)；另一方面可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)其求知欲，這也是每位教師的愿望。

參考文獻(xiàn)：

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