單失效數據情形下蓄能器可靠性評估

郭 銳 張榮兵 趙靜一 ，4 汪晉鋒

1.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室，秦皇島，066004

2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

3.燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

4.秦皇島燕大一華機電工程技術研究院有限公司，秦皇島，066004

0 引言

隔膜式蓄能器采用密封的鋼制外殼和橡膠隔膜將蓄能器分為兩部分，分別充入氮氣和液壓油。隔膜式蓄能器利用橡膠隔膜的移動和氣體的可壓縮性對受壓液體的能量進行儲存和釋放，廣泛用于緊急或快速能量儲存、吸收液壓管路沖擊、吸收液壓泵的流量脈動、泄漏補償、液氣彈簧及不同液體的傳輸等，是液壓系統中不可或缺的輔助裝置，其可靠性直接關系到整個系統的穩定性。

景濤等［1］提出了一種基于核主元分析和模糊支持向量機的可靠性壽命分布模型識別方法。胡志威［2］研究了全水潤滑斜軸式海水柱塞泵的可靠性，通過繪制P?S?N曲線，對其連桿進行了疲勞壽命的可靠性研究。戴城國等［3］提出用模糊綜合評判的方法對電液伺服閥FM ECA進行改進，通過建立因素集、評價集和權重集等步驟實施模糊綜合評判，得到評判結果，給出了電液伺服閥各故障模式對整個伺服閥系統的危害度等級。王帥等［4］提出了一種可定量預估管路結構在多種試驗環境下隨機振動疲勞損傷的分析方法。陳東寧等［5］綜合考慮液壓沖擊、溫度、壓力及彎曲半徑等因素的影響，設計了液壓軟管總成可靠性試驗臺，求得液壓軟管總成在脈沖、爆破試驗條件下的平均壽命、可靠壽命、可靠度的點估計及置信下限。冷景平等［6］研究開發了蓄能器疲勞試驗系統，實現同時對兩個蓄能器進行疲勞試驗。楊國安等［7］對鉆井泵閥疲勞壽命進行研究，依據泵閥疲勞壽命曲線對泵閥使用壽命進行估算。褚淵博等［8］建立了射流管式伺服閥噴嘴至接收器部位的可視化仿真模型并進行了沖蝕磨損率的數值模擬和理論壽命的計算。JIANG等［9］研究了液壓泵在變轉速下提取故障特征的問題，提出了基于階次跟蹤的診斷方法。NAZIR等［10］針對液壓伺服系統的非線性因素，根據進化算法的性能指標，提出了一種預測優化算法可靠性的新技術，可統計認證優化的有效性和魯棒性。GUO等［11］提出了基于液壓泵小樣本可靠性試驗的壽命預測和試驗期優化模型，提出了液壓泵小樣本可靠性測試的循環約束優化搜索策略，解決了測試采樣周期和緊縮端閾值優化問題，并驗證了最小采樣周期的精度。苗學問等［12］提出了一種用于飛機發動機軸承的GL預測模型支持向量機（sup?port vectormachine，SVM）。

蓄能器是高可靠長壽命元件，試驗周期長，費用高，結合前人研究經驗，采用小樣本進行試驗顯得很重要。元件處于故障率的浴盆曲線中段時，需要大量時間才會出現失效，或者無失效。這種情況下，針對隔膜式蓄能器的單失效或無失效數據的研究具有十分重要的意義。

茆詩松等［13］提出在極少失效數據情況下進行可靠性評估，運用傳統的可靠性評估方法處理極少失效數據時，處理結果偏差較大，這是由于傳統的可靠性評估方法通常需要較多的失效數據進行處理。在單失效情況下，傅惠民等［14］假設已知威布爾分布的形狀參數，能得到特定時間內可靠度的置信區間。張志華［15］、陳文華等［16］在單失效情況下，運用配分布曲線法對威布爾分布和正態分布進行參數估計，得到了參數的點估計。徐寶等［17］用參數估計方法研究了壽命服從Pascal分布的產品可靠度在只有一個數據失效情況下的Bayes估計問題，對于給定的Beta先驗分布，得到了可靠度的多層Bayes估計以及E?Bayes估計的形式。

以上研究均未涉及蓄能器試驗領域，本文引入蓄能器相關理論，設計小樣本量下的蓄能器疲勞壽命可靠性試驗，采用無替換定時截尾的方法得到單失效數據，利用單失效數據分析對其進行可靠性研究，分別得到指數分布和威布爾分布場合下蓄能器的可靠性及壽命評估。

1 單失效數據指數分布和威布爾分布情形下的可靠性評估

在與機械產品相關的可靠性試驗中，指數分布和威布爾分布得到較為廣泛的應用。隔膜式蓄能器是一個整體機械結構，組成隔膜式蓄能器的零部件很多，常見的故障形式有隔膜破裂和上下殼體密封破壞等，可以認為都是因為其中的零部件失效，從而證明組成隔膜式蓄能器的薄弱易損的零部件決定著隔膜式蓄能器的壽命。所以隔膜式蓄能器的壽命分布服從指數分布或者威布爾分布是合理的。假定隔膜式蓄能器壽命分布服從二參數威布爾分布，即位置參數γ=0。

1.1 單失效數據指數分布的可靠性分析

張忠占等［18］對產品可靠性試驗數據進行統計分析時發現，如果產品發生失效的個數r≥2時，有很多統計分析的成熟方法可以選擇。但由于產品可靠性水平的不斷提高，在對產品進行可靠性試驗時，即使對產品進行加速壽命試驗，也往往在試驗結束時發現被測產品出現無失效或者單失效的情況，這種情況特別容易在小樣本測試中出現。雖然很多學者和專家對無失效數據的統計分析進行了研究，并且提出了很多方法和理論，但是對單失效數據的可靠性統計分析的方法卻是少之又少。為了充分利用各種失效數據來提高可靠性指標估計的準確度，需要對單失效數據的可靠性分析方法進行研究，并且以相關的試驗為基礎來驗證提出的單失效數據的可靠性分析方法。

評定隔膜式蓄能器的可靠性，對隔膜式蓄能器進行m次定時截尾壽命試驗，截尾時間分別為t1,t2,…,tm，其中，t1＜t2＜…＜tm，對應的測試樣品數量分別是n1,n2,…,nm。在整個可靠性試驗過程中，所有被測試的樣品中只有一個樣品發生失效。由于隔膜式蓄能器的可靠性較高，故通常在(tm-1,tm)區間發生失效。則隔膜式蓄能器單失效數據能夠表示為(ni,ti)，i=1,2,…,m，此時引入失效時間ts來進行可靠性分析。

1.1.1 先驗分布的確定

假設隔膜式蓄能器的壽命t服從指數分布，其分布函數為

式中，λ為失效率；t＞0。

如果共軛伽馬（a，b）分布是λ的先驗分布，則其密度函數為

其中，Γ(a)為伽馬函數，并且a＞0,b＞0；a和b是超參數。在單失效數據情況下，需要選取a和b的值，使π(λ|a,b)為λ的減函數。當0＜a≤1和b＞ 0時，有dπ(λ|a,b)/dλ，從而π(λ|a,b)為λ的減函數。由貝葉斯估計的穩定性可知，先驗分布尾部越細，貝葉斯估計的穩健性越差，所以0＜a≤1時，b最好不取太大值，假設c為b的上限，專家能根據經驗來確定c的取值，這時將a和b的范圍調整為0＜a≤1，0＜b＜c。

根據多層先驗分布的相關知識，b的先驗分布可以在(0,c)上均勻分布，其密度函數為

此時λ的多層先驗分布的密度函數為

1.1.2 失效概率的貝葉斯估計

本文主要研究a=1時λ的多層貝葉斯估計：

式（5）還是關于λ的減函數。由于隔膜式蓄能器可靠性高，在之前的m-1次定時截尾試驗中沒有產生失效數據，在這種情況下，失效率λ的多層貝葉斯估計［19］

由定理可知，在隔膜式蓄能器壽命分布服從指數分布進行的m次定時截尾試驗中，最后只有一個隔膜式蓄能器在ts時失效，其中，ts∈(tm-1,tm)。此時得到的單失效數據為(ni,ti)，i=1,2,…,m。如果λ的多層先驗密度函數π(λ)由式（5）給出，則在平方損失下λ的多層貝葉斯估計

式（7）的證明如下：對壽命分布服從指數分布的隔膜式蓄能器進行m次定時截尾試驗，如果在最后一次試驗中有一個被測樣品發生失效，則有

式中，P1,P2,…,Pm分別為隔膜式蓄能器進行1，2，…，m次定時截尾試驗時的失效概率；Tim為進行第m次截尾試驗時有i個被測樣品發生失效時的失效時間。

其似然函數為

如果π(λ)由式（5）給出，則根據貝葉斯定理，可以得到λ的多層后驗密度函數：

結合之前m-1次定時截尾試驗記錄的無失效試驗數據和最后一次定時截尾獲得的一個失效數據，得到失效率λ的加權Bayes估計［20］：

1.1.3 可靠度估計

可靠度Rg的計算公式為

1.2 單失效數據威布爾分布的可靠性分析

1.2.1 單失效數據模型

假設采用n個試驗樣品進行定時截尾試驗，τ1,τ2,…,τk分別為定時截尾的時間，0＜ τ1＜τ2＜…＜τk。如果在試驗過程中，時間段(τm-1,τm)內有一個試驗樣品失效（其中1≤m＜k），就可得到單失效數據的模型，記作（si,ri,τi），τi時刻參加測試的樣品數量和產生失效的樣品數量分別用si、ri表示。所以i≤m-1時，失效數ri=0；i＞m-1時，ri=1，同時參加測試的樣本數量需滿足s1≥s2≥…≥sk。綜上所述，可得：①當τ0=0時，失效概率p0=0。②由于0＜τ1＜τ2＜ …＜ τk，記 作 pi=P(T ＜ τi)，則 有 p1＜p2＜ …＜ pk，當sk較大時，pi(i=1,2,…,k)較小。③因為在(τm-1,τm)內有測試樣品失效，故可知一些產品的壽命低于τm。

1.2.2 單失效數據下的貝葉斯估計

貝葉斯估計方法是根據所得數據的特點，首先假設失效概率pi服從某種形式的先驗分布，之后根據條件概率的思想，采用似然函數，得到失效概率pi的后驗分布，最后得到失效概率pi的估計值。通常而言，貝葉斯估計方法性能較好，但如果選擇了不適合的失效概率pi的先驗分布，那么貝葉斯估計方法的使用效果會非常差，所以，為貝葉斯估計方法選擇合適的失效概率pi的先驗分布是非常重要的。

（1）先驗分布的確立。假設產品在內的可靠度很高，即失效概率pi較小的可能性很大。不完全β分布B(θ1,θ2,a,b)的密度函數為

當a，b取值一定時，式（10）是關于失效概率pi的單調減函數。

當出現單失效數據時（即當i＞m-1時），采用不完全β分布B(θ1,θ2,a,b)作為失效概率pi的先驗分布，可能導致一個試驗樣品發生過失效這樣的信息丟失，但是通過調整失效概率pi的取值下限可以有效解決此問題。所以，在單失效數據情況下也能采用不完全β分布B(θ1,θ2,a,b)作為失效概率pi的先驗分布。

（2）超參數的選取問題。當式（10）中a≤1、b＞1時，此時該函數是關于失效概率pi的單調減函數，這滿足了失效概率pi的值較小的可能性很大的先驗信息。由此a≤1、b＞1為超參數a和b大概的取值范圍。當b為固定值、a≤1時，隨著a的減小，密度函數曲線右側尾部會越來越細［21］。由貝葉斯估計的穩定性可知，先驗分布尾部越細，貝葉斯估計的穩健性越差。因此，確定超參數a的取值為1。

通常先設定好超參數b的取值上限C，在[1,C]內均勻地取值，這時可以認為超參數b是服從區間[1,C]上的二級先驗分布，即

πi2(b)=U(1,C) （11）

用U(α,β)表示在[α,β]上的均勻分布，C為常數。考慮不完全β分布密度函數性質，當a=1時，選取的超參數b越大，密度函數曲線右側尾部越細。同時考慮到先驗分布尾部越細會導致貝葉斯估計的穩健性變差這一問題，超參數b的上限值C不宜太大，通常選取3～7最好［22］（本文選取C等于5或6進行計算）。

由式（10）可以得到失效概率pi的一級先驗分布式：

根據貝葉斯定理，可以得到失效概率pi的先驗分布式：

由式（13）可以看出，它是關于失效概率pi的單調減函數。

（3）失效概率的貝葉斯估計。假設在定時截尾時間τi內，對si個試驗樣本進行試驗，且有ri個試驗樣本發生失效，其似然函數為

當i＜m，ri=0時，可靠性試驗是在無失效數據的情況下進行的，此時需要用無失效數據貝葉斯估計方法對失效概率pi進行估計，其似然函數為

在平方損失函數下用式（13）作為失效概率pi的先驗分布的貝葉斯估計，即

當i≥m時，ri=1，即有一個試驗樣本在試驗中產生失效，由式（14）可得到其似然函數：

假設試驗樣本在τα(m-1＜α＜m)內產生失效，通常而言，失效現象的產生是隨機性的，所以根據博弈理論，τα時的失效概率pα=max(pe,m-1,0.5)是合理的。通過不完全β分布B(pα,1,1,b)可以得到pm的先驗分布：

顯然式（18）是單調遞減函數，則以其作為pm的先驗分布是正確的。

在平方損失函數下，以式（18）作為失效概率pm的先驗分布的貝葉斯估計，即其后驗分布

Dm=1-pαEm=(C-1)pα

Fm=sm+C Gm=ln(Fm/(sm+1))

得到pm的貝葉斯估計值pe,m后，即可再次利用類似無失效數據的貝葉斯估計方法，在平方損失函數下，得到單失效數據下pi(i＞m)的多層貝葉斯估計：

1.2.3 可靠性分布參數以及特征值的估計

得到各個時刻的失效概率pi=P(t＞τi)的貝葉斯估計值后，就可以用加權最小二乘法對試驗樣本的威布爾分布中的分布參數和特征值進行估計。假設隔膜式蓄能器的壽命T服從兩參數威布爾分布，其表達式

式中，m為形狀參數，m＞1；η為特征壽命，η＞0。

式中，wi為權系數。

得到形狀參數m和特征壽命η的估計值后就可以進行可靠度函數、失效概率密度函數和失效率函數的計算。可靠度函數為

2 蓄能器試驗

蓄能器可靠性試驗是疲勞壽命試驗，是蓄能器型式試驗的一項重要內容。測試的蓄能器是隔膜式的，屬于隔離式蓄能器的范疇。相關標準主要有JB/T 7037-2006《液壓隔離式蓄能器試驗方法》和JB/T 7034-2006《液壓隔膜式蓄能器型式和尺寸》等。本文設計了一種節能、高效的蓄能器疲勞試驗系統來進行蓄能器可靠性試驗。

2.1 試驗系統及方案設計

根據蓄能器可靠性試驗要求，設計了蓄能器試驗液壓系統，系統原理見圖1。

蓄能器可靠性試驗臺液壓系統主要由主液壓泵、主電動機、過濾裝置、蓄能器和各個液壓閥等組成，實現了對被測蓄能器進行反復充放液動作并檢測相關信號的功能。疲勞壽命試驗臺的主要特點是可以同時對2組被測蓄能器進行疲勞測試試驗，節約了成本和時間。隔膜式蓄能器進行可靠性試驗的現場情況見圖2。

圖1 液壓系統原理Fig.1 Schem atic d iagram of hyd raulic system

圖2 可靠性試驗臺現場Fig.2 Site diagram of reliability test station

2.2 被試樣本及其壓力容積匹配

本蓄能器可靠性試驗方案采用的被測樣本是GXQ?C?2/25?M?Y型蓄能器，其結構見圖3。

圖3 隔膜式蓄能器結構Fig.3 Structure of diaphragm type accumu lator

蓄能器內有氣體壓縮與膨脹現象發生，根據波意爾-馬瑞特定律，理想氣體狀態變化關系為

式中，p0為預充氣體壓力；V0為壓力在p0時的預充氣體體積；p1為最小工作壓力；V1為壓力在p1時的氣體體積；p2為最大工作壓力；V2為壓力在p2時的氣體體積；n為多變指數。

壓力容積的p?V關系見圖4。

圖4 蓄能器壓力容積p-V圖Fig.4 Pressure volume PV diagram of accumu lator

2.3 試驗方案的選擇

蓄能器可靠性試驗采用無替換定時截尾試驗。根據相關經驗，選取120～1 680 h為截止時間，試驗充放頻率為每6 s進行一次充放液，即認為選取7.2萬～100.8萬次為截止時間，每天試驗12 h，則100.8萬次需要大概140天（即3 360 h）。

2.4 試驗數據的采集

對于隔膜式蓄能器可靠性壽命試驗，首先應確定其失效判據，見表1。

表1 蓄能器失效依據Tab.1 Failure basisof accumu lator

蓄能器可靠性試驗數據是測試數據，測試樣品是在企業的成品庫中隨機抽取的，20個試驗樣品按每10個為一組進行試驗，試驗過程中，要注意對壓力傳感器的顯示值和測試樣本的情況進行觀察。在917 h（即55萬次）時，一樣品發生故障失效，失效形式為隔膜式蓄能器上下殼體密封破壞出現油噴，見圖5，此時采集到的壓力試驗曲線見圖6。記錄隔膜式蓄能器發生失效的時間和相應的定時截尾時間，定時截尾時間和得到的蓄能器可靠性試驗單失效數據見表2。

圖5 隔膜式蓄能器殼體密封破壞Fig.5 Seal failu re of diaphragm accum ulator shell

圖6 隔膜式蓄能器發生失效時壓力試驗曲線Fig.6 Pressure test curve of diaphragm accum u lator failu re

表2 蓄能器定時單失效試驗數據Tab.2 Test data of accum u lator failu re tim e

指數分布下單失效數據處理流程見圖7。

2.5 單失效數據情形下指數分布試驗分析

由上文中定理可知，失效率λ的貝葉斯估計與M有關，而M與失效時間和截止時間有關，這符合實際情況。將表2中序號1～8的數據代入式（8），得到λj的估計，見表3。由表3的計算結果可以得到1 000 h時可靠度的貝葉斯估計，見表4。可以發現，對于不同的 C（C=100，500，1 000，2 000，3 000），可靠度的貝葉斯估計結果比較穩健。

表3 λj的估計Tab.3 Estim ation ofλj

表4 可靠度的估計Tab.4 Estim ation of reliability

由式（9）得到隔膜式蓄能器指數分布壽命曲線（圖8）。當C分別為100，500，1 000，2 000，3 000時，可靠度函數基本重合，較為直觀地反映出可靠度的貝葉斯估計結果比較穩健。但由橫坐標時間過大可知，隔膜式蓄能器指數分布的壽命預測不是很貼合實際，需要慎重使用。

圖8 隔膜式蓄能器指數分布壽命曲線Fig.8 Exponen tial d istribution life cu rve of diaph ragm accum ulator

2.6 單失效數據情形下威布爾分布試驗分析

威布爾分布下單失效數據處理流程見圖9。將表2中單失效數據進行整理，見表5。

表5 蓄能器定時單失效試驗數據Tab.5 Test data of accum u lator failure time

當C為5或6時，分別將表5中的數據代入計算式中，可以得到相應的pi，見表6。

表6 pi估計值Tab.6 Estimate of pi

結合表6中相關數據和式（21）可得：當C=5時，me=2.040 867 3，ηe=1 488.277 8；當C=6時，me=2.059 759，ηe=1 489.548。

由雙參數威布爾分布可靠度模型，根據貝葉斯方法計算得到蓄能器壽命可靠度模型，得到的可靠度函數見圖10。

可以看出，C=5和C=6時的可靠度函數曲線基本重合，可知C的小范圍取值對可靠度的影響不大。當C=5時，得到了失效概率密度函數（圖11）：

圖10 可靠度函數Fig.10 Reliability function

圖11 失效概率密度函數Fig.11 Failure probability density function

當C=5時，得到了失效率函數（圖12）：

圖12 失效率函數Fig.12 Failure rate function

3 結論

（1）本文應用并行節能理論，設計了能夠同時對20個樣本進行試驗的新型多蓄能器可靠性節能試驗裝置。

（2）采用無替換定時截尾的方法得到單失效數據，利用單失效數據分析對其進行可靠性研究，在指數分布和威布爾分布場合下對蓄能器進行可靠性及壽命評估。通過指數分布對隔膜式蓄能器的可靠性壽命進行分析可以發現，它有一定的使用基礎，但是由于在出現失效數據情況下就停止試驗而進行數據分析，忽略了之后進行試驗時所得到的數據對可靠性分析的影響；采用威布爾分布對單失效數據進行可靠性評估，綜合考慮了失效前、失效時和失效后實驗數據對可靠性評估的影響，認為威布爾分布對蓄能器可靠性評估更具有理論和工程意義。

（3）被測試樣本GXQ?C?2/25?M?Y型隔膜式蓄能器應用在工程機械、礦山機械中，可靠性滿足工程應用要求，有效吸收了機械振動產生的壓力脈動，從而避免液壓系統管路和元件受到損壞，延長了設備使用壽命。