本福德定律在內部審計中的應用

鄧佳軍

[摘要]本文介紹了本福德定律（Benford's law）的內涵及其在審計實務中的適用性，通過W公司采購業務內部審計的真實案例，探討如何具體應用此定律并總結了實踐中應注意的問題 。

[關鍵詞]本福德定律 采購 內部審計 數據分析 舞弊

一、本福德定律的內涵及適用性

本福德定律描述的是在滿足特定條件情況下，大量統計數據中阿拉伯數字1-9在數據首位出現的概率分布規律。數學表述為：在b進制中，以數n開頭的數出現的概率為logb（n+1）-logb（n）。在十進制中，首位數字出現的概率見表1，由此可知，數字越大，以該數字為首位的數出現概率就越低。

該定律適用范圍廣泛，如世界各國人口數量、各國國土面積、街道上的門牌號等數據，把來源不同的數字混合起來，或者進行加、減、乘、除運算之后，多數財務數據符合本福德定律分布特點。我國審計工作發展規劃要求大力推廣先進審計技術方法，積極探索信息化環境下的新方法，提高審計工作效率和質量，因此，在我國內部審計中研究應用本福德定律具有重要意義。

二、本福德定律的應用實例

以W公司的物料采購審計項目為例，使用本福德定律進行數據分析和審計風險識別。

W公司技術領先，提供成套解決方案，擁有可靠的產品和技術，然而采購成本一直居高不下，采購團隊人員流動性較大，采購經理職位更換頻繁。為此，管理層要求進行物料采購流程審計，評估采購職能是否存在舞弊。

根據審計方案要求，審計人員開始對供應合同、采購訂單、采購計劃、 供應商資料等進行收集。W公司使用的是SAP系統，其中包括20萬行采購請求、600多家供應商，如此巨大的數據量在短期內全部審核是不可能完成的。因此，審計人員決定基于本福德定律確定數據偏差來快速獲取有效樣本。

第一步，審計人員通過系統查詢獲取公司開業至今的所有采購訂單，剔除空值或帶有刪除、取消標識的訂單行，得到接近15萬份有效采購訂單。

第二步，將這些訂單數據加載到Excel表格中，針對采購金額一列，可使用left函數，將金額第一位數字取到單獨一列，這樣就得到各個采購訂單行金額對應的首位數字。應注意的是，對小于1元的采購訂單，需要取小數點后第一位的數字作為首位數。

第三步，制作數據透視表，以首位數為行向量，對采購訂單行計數，得到按照首位1-9排列的采購訂單行數量（見表2）。

第四步，進行數據檢驗。要準確判斷數據是否為自然生成，需要計算兩個指標，分別為K-S值和截止值。K-S值是數據的實際概率值與期望概率值差異的最大值，使用Max函數計算；截止值是1.36除以數據條目數的平方根，使用SQRT函數計算。將兩個指標值進行對比，如果K-S值低于截止值，那么可以判定數據為自然生成，沒有經過人為修飾，反之就有造假的風險。

由表2可見，計算出的K-S值和截止值分別為0.3%和0.4%，說明表中所示的首位數分布和本福德定律的標準比率基本吻合，差異很小，采購訂單金額分布屬于正常情況，K-S值小于截止值的驗證，說明數據屬于自然生成，從整體上看沒有經過人為修飾。但整體符合并不意味著個體符合，仍然需要對整體數據進行分層，如從物料類型、供應商等角度。下面以采購額前十大供應商的首位數分布情況（見表3）為例，來判斷各主要供應商個體是否存在數據異常情況。

如果按照供應商代碼來分層統計，可見供應商明顯出現了分化。盡管多數供應商能夠較好地符合本福德比率，但供應商112511首位為2的比率占到22%，為該組數據最高；供應商102336首位為5和6的比率明顯偏高；尤其是供應商190274，幾乎沒有一個比率符合本福德定律的規律。于是，審計人員決定針對供應商190274的數據單獨進行深入分析，尋找差異原因，其分布結果見表4。

通過進一步計算，可以看到K-S值是截止值的3倍多。因此，可以判斷該供應商的訂單金額有人為修飾的可能，需要進一步進行檢查。根據采購訂單記錄，審計人員發現該供應商主要提供金屬鑄件，每一個物料都是為不同項目采購的，從不同物料價格分析比對似乎看不到什么問題，且涉及的采購訂單也有1500多行。但其中首位為1和3的比率差異最大（分別為10.4%和9%），故選擇以此為突破口展開分析。從鑄件的成本驅動因素考慮，采購金額取決于材料的品種、標號、重量。審計人員選擇了采購日期最近的一批物料，按照基礎材料進行歸類，與公司工程部門核實物料的尺寸、重量和材料標號等屬性信息，然后根據采購價格計算出基礎材料單價，使數據信息具有可比性，將其整理后見表5。結果是顯而易見的，基礎材料為GGG-40.3的物料，公斤單價為32元、15元、46元不等；基礎材料為WP53 106的物料，價格也是忽高忽低，顯然存在采購價格管理問題。針對這個發現，需要核對采購合同關于原材料價格的協定，復核其準確性、合理性。

三、本福德定律的應用結論與建議

W公司采購流程審計體現了本福德定律用于內部審計數據分析的有效性，極大地提高了審計效率。因此，在審計領域引入本福德定律，是對常規審計數據分析方法的補充，可以完善和豐富現有方法，提高舞弊發現能力。必須指出的是，出現不符合本福德定律的情況時，只能判斷數據可能存在人為修飾，或者看到舞弊行為的預警信號，但不能直接下結論，還需進一步調查并找到充足審計證據才能判斷流程問題甚至舞弊行為的存在。同時，在應用本福德定律時要注意以下方面：第一，數據量需要足夠大，必須跨越多個數量級才能產生效果。第二，有人為規則的數據就不滿足該定律，比如訂單編號、發票編號等數據。在實務中，審計人員還要注意選取滿足本福德定律分布的數據進行驗證，才能做到有的放矢。

（作者單位：南京大學，郵政編碼：210093，

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