基于時(shí)序模型的顫振預(yù)測(cè)技術(shù)研究

劉立坤 張春蔚 王東森

摘要：本文主要研究了顫振邊界預(yù)測(cè)應(yīng)用技術(shù)，針對(duì)湍流激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)，采用遺忘因子最小二乘法建立時(shí)序模型，結(jié)合Jury穩(wěn)定性判據(jù)構(gòu)造不同飛行速度下的穩(wěn)定性參數(shù)，通過(guò)外推得到顫振臨界速度預(yù)測(cè)結(jié)果。以仿真試驗(yàn)為例，討論了臨近邊界速度大小和響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)間長(zhǎng)度等因素對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響。最后結(jié)合顫振風(fēng)洞試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該方法的合理性和工程實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：顫振邊界預(yù)測(cè);時(shí)序模型;遺忘因子最小二乘法

中圖分類(lèi)號(hào)：V217 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

顫振飛行試驗(yàn)是新型或結(jié)構(gòu)有重大改變的飛行器都必須進(jìn)行的試飛項(xiàng)目之一，它使用真實(shí)飛行器在實(shí)際飛行條件下進(jìn)行試驗(yàn)，具有典型的高風(fēng)險(xiǎn)、高耗費(fèi)和長(zhǎng)周期的特點(diǎn)。顫振邊界預(yù)測(cè)技術(shù)是顫振試飛中確定顫振邊界的主要手段。由于顫振飛行試驗(yàn)條件的復(fù)雜性，試驗(yàn)數(shù)據(jù)的品質(zhì)較低，顫振數(shù)學(xué)模型存在諸多不確定因素，顫振包線一般很難直接從試驗(yàn)獲得，因此如何基于亞臨界響應(yīng)測(cè)量與分析進(jìn)而完成對(duì)包線的預(yù)估十分重要[1]。

國(guó)內(nèi)在風(fēng)洞顫振試驗(yàn)中，常用的亞臨界顫振邊界預(yù)測(cè)方法主要包括阻尼外推法和穩(wěn)定性參數(shù)法，但多數(shù)都需要通過(guò)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，獲取不同條件下結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比。阻尼外推法通過(guò)直接外推臨界參數(shù)確定顫振邊界;穩(wěn)定性參數(shù)法則由模態(tài)頻率和阻尼換算得到特征多項(xiàng)式的復(fù)數(shù)特征根，通過(guò)根和系數(shù)的關(guān)系構(gòu)建勞斯判據(jù)或Jury判據(jù)穩(wěn)定性參數(shù)，然后進(jìn)行臨界參數(shù)外推確定顫振邊界。穩(wěn)定性參數(shù)法在國(guó)內(nèi)外已有廣泛的應(yīng)用，常見(jiàn)的著作和論文主要有管德院士的《氣動(dòng)彈性試驗(yàn)》[2]、宇航出版社出版的《防空導(dǎo)彈結(jié)構(gòu)與強(qiáng)度》[3]、中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心郭洪濤等編寫(xiě)的《顫振試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理技術(shù)研究》[4]等。然而，由于存在激勵(lì)力不足、測(cè)量點(diǎn)有限、試驗(yàn)條件復(fù)雜及測(cè)試條件惡劣等問(wèn)題，顫振試驗(yàn)特別是飛行試驗(yàn)測(cè)量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)品質(zhì)較低，數(shù)據(jù)往往具有模態(tài)密集、有效樣本短和數(shù)據(jù)信噪比低等特征，這些問(wèn)題的存在大大增加了模態(tài)參數(shù)識(shí)別的技術(shù)難度，進(jìn)而影響到顫振邊界預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

目前，國(guó)內(nèi)基于時(shí)序模型的顫振邊界預(yù)測(cè)方法較為少見(jiàn)，本文通過(guò)直接識(shí)別時(shí)序模型多項(xiàng)式系數(shù)獲得穩(wěn)定性參數(shù)，不必經(jīng)過(guò)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，提供了一種基于時(shí)序模型的顫振邊界預(yù)測(cè)方法，以仿真試驗(yàn)為例，討論臨近顫振邊界不同速度大小和響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)間長(zhǎng)度等因素對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響。最后結(jié)合顫振風(fēng)洞試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該方法的合理性和工程實(shí)用性。

1 方法介紹

1.1 遺忘因子最小二乘算法

遺忘因子最小二乘算法最初由Lennart Ljung于1999年提出[5]，廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域，其思想是利用前一時(shí)刻的響應(yīng)對(duì)下一時(shí)刻進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)當(dāng)前的預(yù)測(cè)誤差設(shè)置適當(dāng)?shù)脑鲆嬷担瑏?lái)影響預(yù)測(cè)的趨勢(shì)，經(jīng)過(guò)迭代運(yùn)算，使得最終的預(yù)測(cè)誤差達(dá)到最小，并以誤差最小時(shí)的參數(shù)作為系統(tǒng)辨識(shí)的結(jié)果。具體算法如下，假設(shè)時(shí)間序列{y（t）;t=1，2，…，N}是測(cè)量到的一組響應(yīng)值，則有：式中：ε（t）是t時(shí)刻預(yù)測(cè)誤差Ψ班（t）是t時(shí)刻斜率，θ（t）是t時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值，y（t）是t時(shí)刻的響應(yīng)值（t）是由t-1時(shí)刻響應(yīng)得出的t時(shí)刻響應(yīng)預(yù)測(cè)值，增益K（t）為當(dāng)前預(yù)測(cè)誤差對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響程度，λ是遺忘因子取值為1，通過(guò)不同時(shí)刻的循環(huán)迭代使得J（θ）最小，并以θ值作為系統(tǒng)辨識(shí)的結(jié)果[6～8]。

1.2 ARMA氣動(dòng)彈性系統(tǒng)辨識(shí)[9～12]

假設(shè){y（t）;t=1，2…，N}為N自由度氣動(dòng)彈性系統(tǒng)經(jīng)大氣湍流激勵(lì)的響應(yīng)，將其表示成自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型的差分方程形式：式中：e（t）是零均值、方差桅σ²的白噪聲;變量z^-1為后移算子，z^-1y（t）=y（t-1），多項(xiàng)式系數(shù)A（z^-1）和B（z^-1）分別為：式中：n和m分別為自動(dòng)回歸（AR）和滑動(dòng)平均（MA）多項(xiàng)式階次。

由于白噪聲項(xiàng)e（t）無(wú)法測(cè)量，由過(guò)去時(shí)刻的數(shù)據(jù)y（t）得到的預(yù)測(cè)旬（t）為：

定義預(yù)測(cè)誤差為：

聯(lián)立式（8）和式（11）得：

將式（13）帶入遺傳因子最小二乘算法，經(jīng)過(guò)迭代運(yùn)算，即可得到ARMA多項(xiàng)式系數(shù)。

1.3 穩(wěn)定裕度估計(jì)

假設(shè)經(jīng)過(guò)遺忘因子算法辨識(shí)出ARMA多項(xiàng)式系數(shù)，將其表示成特征多項(xiàng)式形式：

對(duì)于離散系統(tǒng)使用Jury穩(wěn)定性判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)于k=1，3，…，n-1，定義k階方陣X_k、Y_k為：Jury判據(jù)要求：

Jury判據(jù)要求：

計(jì)算不同速度、不同模態(tài)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性因子F^-（n-1），n為ARMA模型階次，繪制穩(wěn)定性因子隨速度的變化曲線，并使用二次曲線擬合的方法進(jìn)行外推，就能得到穩(wěn)定性參數(shù)為零時(shí)對(duì)應(yīng)的速度值，即為顫振臨界速度值。

2 仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證分析

為驗(yàn)證該方法在湍流激勵(lì)情況下的有效性，以得克薩斯A&M大學(xué)航空航天工程系的俯仰一滾轉(zhuǎn)氣動(dòng)彈性風(fēng)洞模型為算例[3]，主要研究了不同速度區(qū)間下的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)間長(zhǎng)度對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。

在MATLAB中進(jìn)行數(shù)值仿真試驗(yàn)，其動(dòng)力學(xué)模型見(jiàn)式（18），具體取值見(jiàn)參考文獻(xiàn)[6]。該模型為二自由度系統(tǒng)，模型階次真值為4，顫振速度V_flutter為12.7m/s，對(duì)應(yīng)的速度頻率和速度阻尼曲線如圖1和圖2所示。

采用零均值高斯白噪聲模擬真實(shí)大氣湍流激勵(lì)形式進(jìn)行激勵(lì)，首先分析了響應(yīng)信號(hào)時(shí)長(zhǎng)為60s、無(wú)噪聲情況下不同速度區(qū)間數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果，見(jiàn)表1。對(duì)于新型或重大改型飛機(jī)，速度在0.8V_d～0.98V_d之間須經(jīng)過(guò)顫振飛行試驗(yàn)驗(yàn)證，（V_d為最大設(shè)計(jì)俯沖速度，根據(jù)CCAR25部相關(guān)條款V_d≤V_flutter/1.15），表1給出了8種典型速度區(qū)間的預(yù)測(cè)結(jié)果。其中，fz-fit為時(shí)序模型預(yù)測(cè)結(jié)果，g-fit為阻尼外推法預(yù)測(cè)結(jié)果。圖3和圖4給出了兩種情況的顫振速度預(yù)測(cè)結(jié)果圖[7-9]。

分析結(jié)果表明，低速試驗(yàn)點(diǎn)時(shí)，阻尼較為分散，阻尼外推法預(yù)測(cè)誤差較大，時(shí)序模型預(yù)測(cè)結(jié)果比阻尼外推法精度高且較為保守。隨著速度逐漸接近臨界顫振速度，兩種方法預(yù)測(cè)結(jié)果趨于一致并且都較為準(zhǔn)確。

在顫振飛行試驗(yàn)中，為了得到有足夠置信度的信息，大氣湍流激勵(lì)方法常要求飛行員持續(xù)保持飛機(jī)穩(wěn)定平飛狀態(tài)一定時(shí)間，采集足夠長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)，這大大增加了試驗(yàn)的成本和風(fēng)險(xiǎn)。選取速度區(qū)間0.8V_d～0.98V_d，針對(duì)不同時(shí)間長(zhǎng)度的響應(yīng)信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，表2給出了具體分析結(jié)果。

分析結(jié)果表明，隨著響應(yīng)信號(hào)數(shù)據(jù)樣本的減少，基于時(shí)序模型的預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)精度逐漸降低。但即使是5s的短時(shí)數(shù)據(jù)樣本情況，該方法仍然具有一定的精度。

3 顫振飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

某型飛機(jī)風(fēng)洞試驗(yàn)，采用大氣湍流激勵(lì)，利用布置在平尾、垂尾等位置的加速度傳感器測(cè)量結(jié)構(gòu)響應(yīng)。在速度201～381m/s的部分試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，圖5～圖7給出了部分速度下左平尾結(jié)構(gòu)響應(yīng)自功率譜曲線，在速度381m/s時(shí)，頻域兩模態(tài)頻率歸一、響應(yīng)幅值明顯放大，速度381m/s已非常接近顫振速度。考慮到試驗(yàn)的安全性，在該速度點(diǎn)終止試驗(yàn)。分別使用基于時(shí)序模型的預(yù)測(cè)方法和阻尼外推法進(jìn)行顫振速度預(yù)測(cè)[10～12]。

圖8給出了部分試驗(yàn)點(diǎn)的顫振速度預(yù)測(cè)結(jié)果，fz為穩(wěn)定性因子值，g為結(jié)構(gòu)阻尼比，fz-fit為穩(wěn)定性因子外推擬合曲線，g-fit為阻尼外推擬合曲線。圖中，阻尼外推法顫振速度預(yù)測(cè)值約為411m/s，基于時(shí)序模型的顫振預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值約為403m/s，兩種方法預(yù)測(cè)結(jié)果一致性較好。

4 結(jié)論

采用基于時(shí)序模型的顫振邊界預(yù)測(cè)方法，對(duì)湍流激勵(lì)下的氣動(dòng)彈性模型進(jìn)行顫振邊界預(yù)測(cè)，并與傳統(tǒng)阻尼外推法進(jìn)行了對(duì)比分析。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，基于時(shí)序模型的顫振預(yù)測(cè)方法在接近顫振臨界速度時(shí)與阻尼外推法預(yù)測(cè)結(jié)果一致，并且由于穩(wěn)定性因子隨速度成近似線性變化的關(guān)系，在低速試驗(yàn)點(diǎn)時(shí)其預(yù)測(cè)精度較阻尼外推法有一定的優(yōu)勢(shì)。

將該方法應(yīng)用于某型飛機(jī)風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)平尾進(jìn)行顫振速度預(yù)測(cè)，結(jié)果表明，該方法能夠得出工程適用的顫振速度預(yù)測(cè)值。此外，與阻尼外推法相比，該方法對(duì)于湍流激勵(lì)得到的短時(shí)響應(yīng)信號(hào)也有一定的適應(yīng)能力，在實(shí)際飛行試驗(yàn)中，能夠有效保障科研試飛的安全，降低飛行試驗(yàn)的風(fēng)險(xiǎn)，具有一定的工程使用價(jià)值。

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