跳擴散模型隨機利率下期權的保險精算定價

李浩然，姚素霞

(1.上海大學 經濟學院，上海市200444；2.河南師范大學 數學與信息科學學院，河南 新鄉 453007)

一、引言

Black與Scholes在1973年提出了非常著名的期權定價公式，即Black-Scholes期權定價公式[1]。眾所周知， Black-Schole模型下的期權定價公式對金融市場的假設很強，這意味著，Black-Scholes期權定價公式的應用范圍相對較窄。為適應更廣泛的金融市場假設，業界在Black-Scholes模型基礎上，進行了成效卓著的改進以及推廣研究工作[2-4]。

期權定價雖然在金融市場上應用很廣泛，但是有時金融市場會存在不完備性，或者不滿足非均衡條件，上述文獻的定價公式將不再適用。鑒于此，文獻[5]初次提出解決以上問題的辦法，也就是期權保險定價的方法，即把期權定價中有關定價的問題轉化成公平保費問題來研究等。更多關于期權的保險定價的研究可以參見文獻[6-8]等。在以上文獻模型中，全都假設無風險利率是常數或者時間函數。另外，把無風險利率視為常數或僅為時間的確定函數并不能很好地描述無風險利率的變化特征。

本文是在假設利率過程服從Hull-White模型和跳躍服從Poisson過程的框架下，得出了模型保險的定價公式及其證明過程。

二、市場模型和基本假設

假設標的資產的價格模型{St,t≥0}滿足如下廣義Poisson跳擴散模型：

dSt= [μ(t)-λ(t)γ]St-dt+σ(t)St-dBt

+JSt-dNt，

(1)

其中，{Bt}表示標準布朗運動過程，σ(t)>0，λ(t)≥0。Nt表示價格在[0,t]區間內跳躍次數， 并假定Nt強度為λ(t)的Poisson過程，而且與Bt獨立。隨機變量J為標的資產價格過程中跳躍的大小，并假設滿足：J>-1，且

設債券的價格模型{Pt,t≥0}服從如下的模型：

dPt=r(t)Ptdt,P0=1,

(2)

其中r(t)表示在t時刻的無風險利率， 它滿足如下的Hull-White短期利率過程：

dr(t)=[α(t)-β(t)r(t)]dt+σr(t)dWt，

(3)

其中α(t)和β(t)是漂移參數函數，σr(t)是擴散參數函數，{Wt}是定義在完備的濾子概率空間{Ω,F,Ft,P}上標準布朗運動過程，并假定它與J和Nt獨立，且Wt與Bt的相關系數為ρ。

下面給出期權的保險精算定價的有關概念，可以參見文獻[5]。

在[0,T]中，0表示期權開始的時間，T為期權到期日。首先給出如下定義：

(4)

假設標的資產價格模型{St}，成熟日T，敲定價格K，C(K,T)為歐式看漲期權t=0價格，P(K,T)為看跌期權在t=0價值，則在到期日T，期權被執行充分必要條件[9]：

歐式看漲期權被執行條件：

歐式看跌期權被執行條件：

其中r(t)表示無風險利率。則由定義2得到：

(5)

(6)

其中IA表示事件A的示性函數。

三、隨機利率下期權保險定價公式

本節我們主要討論期權的定價問題，首先給出引理1和引理2。

引理1[9]假設隨機變量ξ～N(0,1)，η～N(0,1)，且Cov(ξ,η)=ρ，則對任意的實數a,b,c,d,k,有

E[exp{cξ+ηd}Iaξ+bη≥k]

引理2 廣義Poisson跳-擴散模型(1)的解為

(7)

其中S0表示風險資產在時刻零的價格變量。

定理1 設風險資產的價格過程{St,t≥0}滿足廣義Poisson跳-擴散模型(1)，無風險利率滿足Hull-White短期利率模型(3)，則歐式看漲期權的保險定價公式的顯式表達式和買權與賣權之間的平價關系分別為：

(8)

(9)

其中Φ(·)表示標準正態隨機變量的分布函數，

這里A(T)=

證明：由于J1,J2,…,JNt獨立同分布，且與過程Nt獨立，則我們有

又有

我們有

故有

由Hull-White短期利率模型(3)和It公式得[8]:

又因為

等價于

(10)

為書寫方便，記

則(10)式可以表示為：

對于給定的正整數n，由于

則由引理1和全數學期望公式可得：

因此(8)式成立，同理 (9)式成立。