高中函數(shù)值域與最值的解析

呂曉蝶

摘 要 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，本文將討論有關(guān)函數(shù)的值域與最值的相關(guān)問題，并且給出了典型例題進(jìn)行解析。

關(guān)鍵詞 函數(shù) 值域 最值

中圖分類號(hào)：G633.64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1考點(diǎn)一：函數(shù)的值域與最值的求解方法

考點(diǎn)解析：函數(shù)的值域與最值的求解方法通常有以下幾種：

（1）基本函數(shù)法：對(duì)于基本函數(shù)的值域問題，如：指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，可以通過基本函數(shù)的圖像和性質(zhì)直接求解。

（2）配方法：對(duì)于形如類的函數(shù)的值域問題，均可用配方法求解。

（3）換元法：利用三角變換或者代數(shù)，將所給函數(shù)的轉(zhuǎn)化為易于求解值域的函數(shù)，形如：，令；又形如結(jié)構(gòu)的函數(shù)，可利用三角代換，令。

（4）基本不等式法：利用基本不等式求解值域和最值問題要注意看使用的條件，需要滿足“一正，二定、三相等”。如利用不等式求最值時(shí)，應(yīng)滿足三個(gè)條件：；為定值；取等號(hào)的條件為。

（5）分離變量法：分離變量法專門針對(duì)形如：的函數(shù)的值域問題，均可采用此法，將其轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)，再進(jìn)行求解。

（6）函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域。例如，當(dāng)利用基本不等式法等號(hào)不能成立的時(shí)候，可以考慮用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解。

（7）判別式法：利用判別一元二次方程有無實(shí)數(shù)根來處理函數(shù)最值問題。

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）

解析：（1）觀察函數(shù)的形式，易知有兩種解法：配方法法和判別式法均可求解；（2）觀察函數(shù)的形式，可以考慮用換元法和單調(diào)性法來求解值域。

（1）解法一：配方法。

因?yàn)?/p>

所以

故原函數(shù)值域?yàn)?/p>

解法二：判別式法。

由得到

當(dāng)時(shí)，方程無解

當(dāng)時(shí)，

所以

故原函數(shù)值域?yàn)?/p>

（2）解法一：換元法。

令，則

于是

顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以

故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

解法二：單調(diào)性法。

函數(shù)的定義域是，當(dāng)增大時(shí)，增大，減小，

所以增大

因此，函數(shù)在其定義域上是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值

故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

2考點(diǎn)二：與恒成立有關(guān)的最值問題

考點(diǎn)解析：對(duì)于含參量的不等式成立的問題，首先考慮參數(shù)分離法；如果參數(shù)分離法不便于分離，則看給出的是哪個(gè)變量的范圍，就整理成這個(gè)變量的函數(shù)形式，再由不等式恒成立條件得出結(jié)果。

例2：已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少？

解析：首先要求解出函數(shù)的值域，再令f（x）=t，對(duì)不等式進(jìn)行參數(shù)分離，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。

解：由題意可知，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，，

令，則，即不等式在上恒成立，

即在上恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

在上的最大值，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，且，

所以，故。

參考文獻(xiàn)

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