高中函數值域與最值的解析

呂曉蝶

摘 要 函數是高中數學的重要組成部分，本文將討論有關函數的值域與最值的相關問題，并且給出了典型例題進行解析。

關鍵詞 函數 值域 最值

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A

1考點一：函數的值域與最值的求解方法

考點解析：函數的值域與最值的求解方法通常有以下幾種：

（1）基本函數法：對于基本函數的值域問題，如：指數函數，二次函數、對數函數等，可以通過基本函數的圖像和性質直接求解。

（2）配方法：對于形如類的函數的值域問題，均可用配方法求解。

（3）換元法：利用三角變換或者代數，將所給函數的轉化為易于求解值域的函數，形如：，令；又形如結構的函數，可利用三角代換，令。

（4）基本不等式法：利用基本不等式求解值域和最值問題要注意看使用的條件，需要滿足“一正，二定、三相等”。如利用不等式求最值時，應滿足三個條件：；為定值；取等號的條件為。

（5）分離變量法：分離變量法專門針對形如：的函數的值域問題，均可采用此法，將其轉化為基本初等函數，再進行求解。

（6）函數的單調性法：確定函數在定義域上的單調性，從而求出函數的值域。例如，當利用基本不等式法等號不能成立的時候，可以考慮用函數的單調性進行求解。

（7）判別式法：利用判別一元二次方程有無實數根來處理函數最值問題。

例1：求下列函數的值域

（1）

解析：（1）觀察函數的形式，易知有兩種解法：配方法法和判別式法均可求解；（2）觀察函數的形式，可以考慮用換元法和單調性法來求解值域。

（1）解法一：配方法。

因為

所以

故原函數值域為

解法二：判別式法。

由得到

當時，方程無解

當時，

所以

故原函數值域為

（2）解法一：換元法。

令，則

于是

顯然函數在上單調遞減，所以

故原函數的值域為

解法二：單調性法。

函數的定義域是，當增大時，增大，減小，

所以增大

因此，函數在其定義域上是一個單調遞增的函數，

所以當時，函數取得最大值

故原函數的值域為

2考點二：與恒成立有關的最值問題

考點解析：對于含參量的不等式成立的問題，首先考慮參數分離法；如果參數分離法不便于分離，則看給出的是哪個變量的范圍，就整理成這個變量的函數形式，再由不等式恒成立條件得出結果。

例2：已知函數，若不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是多少？

解析：首先要求解出函數的值域，再令f（x）=t，對不等式進行參數分離，將問題轉化為求函數的最值問題。

解：由題意可知，當時，，

當時，，

所以當時，，

令，則，即不等式在上恒成立，

即在上恒成立，問題轉化為求函數

在上的最大值，又因為在上單調遞減，

在上單調遞增，且，

所以，故。

參考文獻

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[3] 季其梅.求函數值域與最值的幾種常用方法[J].新高考（高一版），2007（09）：30-31.