求導數的幾個基本法則及導數在優化問題中的應用

黃明威　史衛娟

摘 要 導數知識促進了生產技術的進步與自然科學的不斷發展。在我們的日常生活中時常面臨著要如何抉擇才能使“位置最好”“花費的時間最少”“使用原材料料最省” “獲取利潤最大”等優化問題。一般可以把實際問題轉化為數學問題，再利用導數相關知識來解決。

關鍵詞 導數 運算法則 生活實際問題

0前言

導數的學習知識在高中和大學課程中是一個非常重要的內容，它的運用方面貫穿了整個線性代數的學習課程，同時呢，它還能幫助我們更好的學習線性代數，幫助我們認真掌握導數的一些基本運算法則，在我們的實際生活中的優化問題經過類比轉化為數學題目進行求解。

1理論意義與研究方法

大學期間我們已經學習了一些關于導數求導的基本運算法則，還可以通過結合微積分來幫助我們來求解導數，這讓我們求導的方式變得多樣化，導數也是中學微積分學習中的一個非常重要基礎的概念。

本文主要的研究方法有：

（1）文獻研究法：按照鉆研目標，透過查詢拜訪文獻來取得學習導數求導的相干資料，從而全面地、正確地領會把握所要鉆研題目；

（2）歸納總結法：所謂歸納便是匯合起來，所謂總結便是得出的結論，歸納總結的意思是把某個事物匯合起來得出的結論，要在多種導數求解方法進行分析的基礎上進行歸納總結，分析其優缺點，總結出結論；

（3）舉例分析法：對給出了的方法進行舉例說明，從而判斷出能否更加徹底的掌握該方法。

2導數的求值及實際問題

學好了函數的單調性可以辦理許多關于函數相聯系的優化題目。將實際問題通過函數的單調性來解決，很有實際應用價值。利用函數的單調性求最值、解方程。可以利用函數單調性幫助我們解決比較難的方程。

2.1導數的極值和最大最小值

導數的極值是在某一段定義域里面的極大極小值，而導數的極值最大值最小值是在整個定義域里面的最大最小值。

2.2導數的求導公式

一般基本函數導數的求導公式

（為常數函數）

；

3.

2.3運用導數解決實際生活問題

一個喝了酒的司機開車被警察攔截，說駕駛的速度超過了100千米/小時，而司機卻反駁說，我才開了不到半個小時，怎么會超速呢？而這是為什么呢？

當無限趨近于時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就近似等于時刻的瞬時速度，因而就把此時的極限作為汽車在時刻的瞬時速度，即

（1）

這就是通常所說的速度。這實際上是由平均速度類比到瞬時速度的進程（如咱們駕駛時的限“速” 指瞬時速度）。所以只要某一個瞬間的速度超過了規定的速度，那么就可以認定這個車主是超速行駛。

3導數解決優化問題

（1）某健身廣場籌辦在半徑為R的圓形花園的中間建造一高桿燈，已知每個點亮度與光形成的傾角的正弦成正比，與光源間隔的平方成反比，求高桿燈與地面相隔多長的情況下，繞在街心花園周旁的街道亮度最大？

由已知得：且：，

故：。

求對的導數，并令等于0得：。

當時，；當時，；

故：當時，y取最大值。

（2）某施工小組打算要做一個沒有蓋子的圓柱形水池，水池的容積為，池壁的厚度為常數，當水池內壁半徑為多少時，才能使所用的材料最省？

解：設內壁半徑為，所以內面積為，高就為，內壁表面積就為，所以壁厚為，底壁厚。

因為要使材料最省，所以可以把最底邊的一圈挖去，所以得：

∴所以當水池內壁半徑為2時，材料最省。

（3）一個房地產開發商在賺了幾個億之后，老板決定投資2160萬去購置一塊地皮，想要在這塊地皮上建造 一棟至少有10層，并且每層有2000平方米的大廈，已知將大廈建立為X層的時候，每一平方米建筑費用是590+48X元，現在老板想為了使樓房每平米的平均綜合費用最少，要建多少層的大廈？

解：首先假設大廈每平方米的平均綜合費用是元，

則

令得出，

所以當時，；當時，。

因此當時，取最小值，。

所以為了使得大廈每平方米的平均綜合費用最少，這個大廈應當建為15層。

4結論

導數在實際生活中的應用可以解決與幾何學有關的面積或體積的最值問題、與物理學有關的速度問題或者加速度問題這對于研究行程問題是十分關鍵，不僅是書本上的知識要用到導數，就連與經濟有關的最值問題，購買哪種組合票會優惠最大，生活營養搭配結構都與導數息息相關。導數是一個有力的工具在以后解決有關導數解決生活實際問題時要學會靈活運用.要首先考慮到導數的定義區間是否有效。同時也要積累多種不同的導數求解方法，讓導數的應用更廣泛，更完善。

參考文獻

[1] 劉旌揚.談導數的幾種應用與思路[J].中國校外教育，2017（32）：122-123.