用面積法定義正弦的課例初探

張東方

摘 要 數學是一門研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的學科。它透過抽象化和邏輯推理的使用，從計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性。怎樣在課堂教學后進行反思，如何讓學生建立三角函數模型進行教學方法改進成為了目前重要的一個課題。在此本人以“正弦”一課為例，初探用面積法定義正弦。

關鍵詞 面積法 定義正弦 課例初探

1“用面積法定義正弦”的原由

三角函數是初中幾何教學的重要內容之一，在整個數學幾何體系中，根據學生理解掌握的難易程度將三角函數分為了兩個階段學習，即：初中階段和高中階段。在初中階段由于學生的認知水平有限，因此教材對三角函數的概念擬定是在直角三角形中用三角形中邊的比的形式來定義的，解三角形的問題也僅僅限于直角三角形。

為此如何讓學生建立三角函數的模型，如何更深入的運用三角函數解決幾何問題應然而生。大部分教師對三角函數教學中存在的問題和困惑有：主要是教材提供的概念過于簡單，怎樣在課時有限的情況下讓學生探索教材內容？如何把握內容設置的難易程度，如何整合設計才更合理有效呢？于是改進迫在眉睫。

每間學校學生基礎水平參差不齊，怎樣的教學設計能適合大多數學生的理解需求呢？傳統的講解方式，是教師碎片化的教和學生碎片化的學，這種教控制影響著學生的學，而我們要引導學生建立一種思維的體系，學會用原有的知識建立知識體系樹，從而將知識整體化，并把握住成長階段的黃金時期。培養學生的動手能力和敏捷的思維，所以“用面積法定義正弦”，可以給予學生更多動手練習以及對變式練習的感知，可以讓學生達到一個思維創新的發展的過程，讓他們通過自己的感受一步一步的肯定自己，在感受中遵循大量實驗、猜想結論、證明結論的過程，幫助學生建立數學實驗的基本步驟，也幫助學生建立自信。培養了知識分解與知識整合的能力。

2“用面積法定義正弦”改進的內容與怎樣改進

2.1改進的內容

幾何側重的是定性的研究，三角側重定量的研究，既然兩者研究的都是幾何對象，那么就應該將二者聯系起來，彼此作為依托的工具。

三角函數是解決幾何問題的有力工具，是訓練代數變換能力的平臺，如果將“用面積法定義正弦”下放成功，那么教學的重點和難點將會更易于突破，學生也能夠在原有知識的基礎上進一步提高分析問題的能力，對再學習奠定了良好的基礎，從而更符合學生的認知心理。

傳統模式：

在直角三角形中，正弦=對邊比斜邊

這種方式只能讓學生機械的記憶，人為的限制了學生的思維，讓孩子們以為，三角函數只能運用在直角三角形中。

2.2怎樣改進

改進模式：

例如：

（1）問題的引導。

問題1：觀察當∠DAE為直角時，等腰△DAE的面積是多少？

問題2：當拖動點D在單位圓上運動時等腰△DAE的面積是否發生了變化，為什么？

（2）正弦定義的引入。

小學時學習了什么是打折問題，例如打九折我們通常表示為，打x折表示為，其中10是不變的總份數，而9和x是變化后的份數。那么現在我們就把單位三角形中的這種變化也當做折扣來表示。將單位等腰直角三角形的面積看做總份數，變化后的單位等腰三角形看做是變化后的份數，我們可以表示為，給它一個新的名字叫做正弦，即sinA。正弦定義：頂角為A的單位等腰三角形的面積和頂角為直角的單位等腰三角形的面積比。

分析：對于概念課的學習，教師更多的是引導學生感知、探索概念生成的過程。讓學生體會由靜態到動態的變化。當拖動點D在單位圓上運動時等腰△DAE的底邊AE沒有發生變化，很多學生會認為只是單純的高發生了改變，而教師要在這個環節追問學生變化的本質，不斷追問導致高變化的根本原因是什么？學生容易發現高之所以變化是因為∠DAE發生了變化。

用“面積法定義正弦”從“形”的角度“直觀入手”，讓學生感知圖像的變化。

學生從∠DAB角度發生改變，發現了從∠DAB到sin∠DAB的一個確定的對應關系。這就是函數思想的滲透。更有利于學生通過“圖形”來思考數學問題，同時對于學生借助圖形來進行分析、推理和認證增強了數形結合的意識。學生在運用“面積法定義正弦”時，感受到了數形結合的優勢，培養了探索思維的方式。

3“用面積法定義正弦”的影響

3.1對后續教學的影響

“用面積法定義正弦”的方式在學生后續學習菱形面積時也有很大的幫助。學生可以通過自行探索發現：邊長為1且有一個角為A的菱形面積就等于sinA，反之也可以用單位菱形的面積來定義正弦，這種方式直觀而且和已學過的知識有了更多的聯系，使得學生在認識正弦的同時，通過“實驗—猜想—發現規律—證明”體驗變換，從而輕松地從原有模型中“抽象”出新的模型，理解正弦的概念。實現提升“直觀想象”、“數學抽象”、“數學建模”的能力。

3.2對學生的影響

初中數學幾何教學中“用面積法定義正弦”為大部分學生串聯知識點提供了抓手，激發了學生學習幾何的興趣。為學生學習三角函數奠定了基礎，培養了學生對幾何知識再創造的能力，加強了學生的語言表達能力和應變能力。

“用面積法定義正弦”的方式，不僅聯系小學學過的三角形面積公式，還可以進一步探索三角形面積公式等數學問題。學生通過自主證明，觀察證明過程。實現在例題的基礎上進行發散性思維，從總體入手，看到整體與整體的關系，使問題得以解決。這種方式與傳統“正弦”的定義并不違背，反而學生可以根據三角形面積公式：

= ， = ab ，

得到 = ab ，

從而推出 = ，

同理可得 = 。

“用面積法定義正弦”的教學方式對學生掌握三角函數，解決幾何綜合題能力的影響是巨大的。它讓概念的生成更簡單、更直觀、更嚴謹，它在體系的架構上，揭示了幾何、代數、三角的密切聯系，“用面積法定義正弦”在平凡處挖掘新思路，更好的引導了學生發現問題并深入思考的能力，既培養了學生的“形式思維”，又培養了學生的“非形式思維”充分的詮釋了波利亞的教育理論。同時，為初中學生學習三角函數提供了一個新的方向，通過學生自主探索，培養學生的創新意識，實現學生數學素養的提升。

參考文獻

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