模糊離差

羅揚華

摘 要 本文對投資組合量化問題做出了一些模型，對投資組合風險度量進行一定的研究，也給出了模糊離差——熵來度量風險的方法，這個方法由收益率的期望和離差消除投資分配的不確定性。于是就建立了熵度量風險的組合投資優化模型，得出該模型能很好的計算到了證券市場決策中各種各樣的影響因素，也能說明作投資就要分散風險這一想法，如果預期收益到達一定水準時，這能給投資者們提供了一個更加科學安全的投資方法。

關鍵詞 模糊離差 熵 投資組合優化實證分析

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A

1模糊熵的概念和性質

1968年Zadeh在提出模糊集概念的基礎上首次定義了伴隨概率分布的模糊熵。

假定（L=…，一下所有L都成立）為一個有限模糊集合，對應的概率集合，則模糊熵公式為：

（1-1）

其中，為模糊集合的隸屬度函數。

若存在另一獨立有限模糊集合，對應概率集合為，則存在：

（1-2）

其中，

在此基礎上，1972年De Luca和Termini對Zadeh的模糊熵表達式進行了修正，提出了只依賴于可能性理論的模糊熵表達式。

加入n個事件，而且規定每次就只能有一件事發生，那么只要最終結果不是已經被認定為0或者是1的話，則可以當作存在模糊不確定性，設 的隸屬度為，，，定義模糊熵：

（1-3）

1.1基于模糊熵的投資組合模型

一般來說，風險資產出現也就是一開始的組合投資期望收益相比較無風險收益來說是要高的，這樣的話就會給人帶來很高的收益同時也要付出讓人痛苦萬分的風險。所以對于投資者能否準確的判定價格走勢也就意味著能否風險遠離投資者的關鍵所在。

假設一組模糊變量代表不同證券的模糊收益狀況代表不同證券的投資比例。

2000年Tanaka在MV模型的基礎上建立了模糊環境下的MV模型：

（1-4）

其中，代表模糊環境下的方差，代表模糊環境下的期望收益率。

進一步地，模型可改寫為：

（1-5）

其中代表第i種證券的模糊收益期望，代表第i種證券模糊收益的方差。

考慮到方差指標依然存在諸多缺陷，2008年Huang在Liu和Zhang的基礎上建立了模糊熵模型.定義離散變量的模糊熵：

（1-6）

其中 （1-7）

依循MV模型的思想建立如下兩種模型，第一種是在給定風險水平下，以最高收益作為目的的函數的模型：

（1-8）

第二種則是以固定的收益水準下，最小風險作為目的的函數的模型：

在該模型中，模糊熵代表著收益分布，想要收益分布集中就要求得它的最小值，值越小收益分布越集中。一般來說，處理非公制數據使用模糊熵組合投資是更為明智的做法，這也從側面反映出模糊熵更有優越性。但是，對于現實生活中，前輩們的一些均值模型要求得最優組合會出現各種失衡問題，讓過多的投資資金放在少數證券上是非常不聰明的做法，這跟分散風險是背道而馳的。則，我們可以建立模型來分析這些問題。

2基于離差——熵度量風險的組合投資優化研究

2.1離差——熵模型的建立

假如金融市場上可進行操作的證券有 N種，投資者在里面選種進行組合投資。表示第 i種證券的收益率， 表示第 i種證券的投資比例，則均值離差模型為：

（3-1）

該均值離差模型體現出了當投資者的收益水準達到u0時，則投資組合風險就能達到最小，其中風險度量為收益平均絕對離差。為證券的收益率， 為投資比例，因為證券收益率是隨機變量，所以投資比例也是隨機變量。那么該模型可以認為是第i種證券投資概率，那么就是第n種證券投資的概率分布律。則當模型達到時，那么它的結果擁有不確定性。用熵來衡量決策行為的不確定性是完全沒問題的，而且不確定性的大小就是度量，想要收益穩定就要讓這些不確定性遠離我們。描述投資分配不確定性的熵極大化，即：

（3-2）

因此，當期望收益的水準保持一定的值，而卻還要對自己的投資分配比例了解的清清楚楚，此時想要收益平均絕對離差風險變小，那么：

（3-3）

另一方面為使收益穩定，還需要考慮式（3-2），于是建立如下證券組合投資的離差-熵模型：

（3-4）

投資者一開始期望的收益水準若有不確定性，那么一定是收益的平均絕對離差也存在不確定性，該模型的風險度量則是這兩者的不確定性，以投資者的收益為作為首要條件，若想要投資組合風險是最小，那么這是一個多目標的規劃問題。設為第 i種證券在第期隨機變量的實際值， 用樣本數近似代替

于是模型（3-4）轉化為

（3-5）

模型（3-5）可化為等價的多目標規劃問題：

（3-6）

為解此模型，可將其轉化為如下單目標規劃問題：

（3-7）

若，那么它的風險度量是收益的平均絕對值，而且該模型會變成模型（3-1）。式中是參數，由實際問題以及計算方便程度等情況來取值，這是風險的平衡系數。

3結論

本文對投資組合量化問題做出了一些模型，對投資組合風險度量進行一定的研究，也給出了模糊離差——熵來度量風險的方法，該方法由收益率的期望和離差消除投資分配的不確定性。則建立了熵度量風險的組合投資優化模型，得出該模型能很好的計算到了證券市場決策中各種各樣的影響因素，該模型也能說明作投資就要分散風險的想法，如果預期收益到達一定水準時，這能給投資者們提供了一個更加科學安全的投資方法。

參考文獻

[1] Zadeh，L.A. Probability measures of Fuzzy events[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications，1968， 23（02）：421-427.

[2] Luca，A.D.&S.Termini.Algebraic; properties of fuzzy sets[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications， 1972， 40（02）：373-386.

[3] Tanaka.K.Stable Switching Fuzzy Control and Its Application to a Hovercraft Type Vehicle[J]. FUZZ-IEEE 2000， 2000.

[4] Huang，Z.&Q.Shen.Fuzzy; Interpolation and Extrapolation： A Practical Approach[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2008， 16（01）：13-28.