妙用韋達定理巧解根與系數(shù)的關(guān)系問題

徐菊萍

法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)之間有著某種特殊關(guān)系：如果一元二次方程的兩根是x1，x2，則x1+x2=用文字語言表述為：一元二次方程中兩根的和等于它的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根的積等于它的常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.我們稱這個結(jié)論為韋達定理，妙用韋達定理，常常可以避開繁瑣的求解，找到解題的捷徑.

一、已知方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值

例1 若方程x2-4x+1=0的兩根是x1，x2，則x1（1+x2）+x2的值為________.

【解析】方程的根是無理數(shù)，若直接代入，計算繁瑣.因所求涉及兩根關(guān)系，可根據(jù)韋達定理，整體求得兩根和與兩根積：由題意得x1+x2=4，x1x2=1；同時還需把給定的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形化為含x1+x2、x1x2的形式：x1（1+x2）+x2=x1+x2+x1x2，然后再把 x1+x2、x1x2的值整體代入即可.

【答案】5.

【點評】一元二次方程問題中，出現(xiàn)方程的根的和與積時，常不解方程，直接運用根與系數(shù)的關(guān)系，將所給代數(shù)式恒等變形成含兩根和、兩根積的形式，再整體計算.

例2 設一元二次方程x2-3x-1=0的兩根分別是x1，x2，則________.

【解析】因涉及兩根關(guān)系，首先考慮韋達定理，但是恒等變形不能出現(xiàn)兩根和與積的整體，再觀察所求代數(shù)式中這個部分的特點，可利用方程的解的定義（方程的解是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值），將方程的根代入原方程，得，再將此結(jié)果代回所求代數(shù)式=x1+x2，出現(xiàn)了兩根和的整體，再用韋達定理.

【答案】∵一元二次方程x2-3x-1=0的兩根分別是，故答案為：3.

【點評】對于涉及兩根的代數(shù)式問題，要善于觀察代數(shù)式結(jié)構(gòu)，綜合考慮韋達定理和方程的解兩個要點，構(gòu)造相應整體求解.

二、已知兩根，求方程字母系數(shù)的值或取值范圍

1.已知兩根，求方程字母系數(shù)的值.

例3 已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p=______；q=______.

【解析】解法一（代入法）：可將兩根分別代入方程，得關(guān)于p、q的一個二元一次方程組，解這個方程組即可.解法二（韋達法）：已知兩根，根據(jù)韋達定理，p與兩根和有關(guān)，q與兩根積有關(guān)，可得-p=（-3）+（-1）=-4，p=4；q=（-3）×（-1）=3.對比可見，韋達定理此時更勝一籌.

【答案】4，3.

【點評】已知兩根求方程中的字母系數(shù)，用韋達定理更方便、快捷.

備注：此題給我們提供了已知兩根可以創(chuàng)作一個新方程的思路，見下例.

2.已知兩根，求作一元二次方程.

例4 以2和-3為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是_______.

【解析】x1+x2=2+（-3）=-1，x1x2=2×（-3）=-6，若設關(guān)于x的方程為x2+px+q=0，根據(jù)韋達定理，-p=-1，p=1；q=-6，所以符合要求的一元二次方程是：x2+x-6=0.

【答案】x2+x-6=0.

【點評】求作一元二次方程時，先求兩根和與兩根積，再根據(jù)韋達定理寫出一元二次方程的一次項系數(shù)和常數(shù)項，再寫出一般式即可.

3.已知兩根關(guān)系，求方程字母系數(shù)的值.

例5 已知關(guān)于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有兩個實數(shù)根x1，x2.若x1，x2滿足x12+x22=16+x1x2，求實數(shù)k的值.

【解析】將兩根關(guān)系恒等變形成含有兩根和與積的形式x2，根據(jù)韋達定理用k表示x1+x2和x1·x2，得x1+x2=1-2k，x1·x2=k2-1，再將此結(jié)果代入等式，得到關(guān)于k的方程（1-2k）2-2（k2-1）=16+（k2-1），解此方程得k1=-2，k2=6.注意：這不是本題的最終結(jié)果，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是以方程有解為前提，即根的判別式b2-4ac≥0.此題，解得因此實數(shù)k的值為-2.

【答案】-2.

【點評】已知兩根關(guān)系，用韋達定理求出方程中的字母系數(shù)后，一定要檢驗：①符合根的判別式b2-4ac≥0；②字母系數(shù)如果在二次項系數(shù)上，同時要保證二次項系數(shù)不為0.

4.已知兩根的符號性質(zhì)，求方程字母系數(shù)的取值范圍.

例6 已知關(guān)于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m-7=0有兩個負數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是_______.

【解析】由方程有兩個負數(shù)根，關(guān)注兩個要點：①方程有兩個實數(shù)根，則Δ=b2-4ac≥0；②兩根為負數(shù)，則兩根積為正，和為負.因此可得如下三個關(guān)系：

綜上所述：m＞7.

【答案】m＞7.

【點評】Δ=b2-4ac只能用于判定根存在與否，若判定根的正負，則需要考慮x1x2和x1+x2的正負情況.在Δ=b2-4ac≥0的前提下：

三、已知一個根，求另一個根以及字母系數(shù)的值

例7 已知方程x2-6x+m2-2m+5=0的一個根為2，求另一個根及m的值.

【解析】類似例3，有兩種做法.解法一（代入法）：根據(jù)方程根的定義，把x=2代入原方程，列出關(guān)于m的新方程，先求出m的值，再通過解方程求另一個根；解法二（韋達法）：利用根與系數(shù)的關(guān)系，x1+x2=6是定值，直接將已知根代入得另一個根為4，再由x1x2=m2-2m+5=4×2=8，解關(guān)于m的方程，可得m1=3，m2=-1.

【答案】另一個根是4，m的值為3或-1.

【點評】已知一個根，用韋達定理求另一個根時，需要觀察系數(shù)特點.若一次項系數(shù)是已知數(shù)，則用兩根和求另一個根；若常數(shù)項是已知數(shù)，則用兩根積求另一個根，再用另一組關(guān)系求字母系數(shù).以x1，x2為兩根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）為:x2-（x1+x2）x+x1x2=0.