“均值平方差法”妙解一元二次方程

揚州大學附屬中學東部分校初三（5）班 王啟昊

我們在列一元二次方程解決問題時，方程的結構類似于兩個一次方程的乘積等于某個數值.同學們一般都是整理該方程為一般形式，再運用公式法或者配方法，甚至是因式分解法（十字相乘法）求解.如何巧妙地解這類方程，我發現了一種“均值平方差法”.

我們來看下面這道習題.

（2018·上海靜安區二模）今年本市蜜桔大豐收，某水果商銷售一種蜜桔，成本價為10元/千克，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規定這種產品的銷售價不高于18元/千克.市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）之間的函數關系如圖所示：

（1）求y與x之間的函數表達式.

（2）該經銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少？（銷售利潤=銷售價-成本價）

【解析】（1）觀察函數圖像，找出兩點的坐標，再利用待定系數法即可求出y與x之間的函數表達式.

（2）根據“每千克的銷售利潤×銷售數量=總利潤”，即可得出關于x的一元二次方程，求解方程并檢驗.

解：（1）設y與x之間的函數表達式為y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得：

∴y與x之間的函數表達式y=-2x+60（10≤x≤18）；

（2）根據題意，得：（x-10）（-2x+60）=150，整理得：x2-40x+375=0，

解得：x1=15，x2=25（不合題意，舍去）.

答：該經銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為15元.

請注意，我們在解方程（x-10）（-2x+60）=150時，可以作如下變形：

2.3 模擬“遺傳信息翻譯”的過程 指導學生閱讀教材上相關的文字和圖示，理解遺傳信息的翻譯過程。在進行模擬實驗前，思考如下幾點： ①如何找出mRNA上的起始密碼子、終止密碼子？②如何查找mRNA上密碼子對應的氨基酸？③核糖體與mRNA的結合部位會形成幾個tRNA的結合位點？④是mRNA沿著核糖體移動還是核糖體沿著mRNA移動？⑤二肽和多肽是如何形成的？現在有了模板mRNA、生產廠房——核糖體、原料——20種氨基酸、轉運工具——tRNA， 2個學生一組材料，模擬蛋白質的合成。模擬實驗步驟如下：

由（x-10）（-2x+60）=150，得：-2（x-10）（x-30）=150，

∴（x-10）（x-30）=-75，那么轉化為方程

特別說明：（x-20）是（x-10）與（x-30）的平均數，即這樣可以將（x-10）（x-30）轉化為含有x的一次多項式與常數的平方差，即為［（x-20）+10］［（x-20）-10］=-75，再轉化為（x-20）2=25，然后直接開平方就得到方程的根.這樣的解題方法，我命名為“均值平方差法”.老師說，我們將來解決二次函數的實際問題，也可以用這個方法呢！

下面，我們來做另外一道題.

（2018·江蘇連云港模擬）無錫市新區某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為250元，每桶水的進價是5元，規定銷售單價不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶.調查發現日均銷售量p（桶）與銷售單價x（元）的函數圖像如圖所示.

（1）求日均銷售量p（桶）與銷售單價x（元）的函數表達式；

（2）若該經營部日均獲利1350元，那么銷售單價是多少？

答：日均銷售量p（桶）與銷售單價x（元）的函數表達式為p=-50x+850；

（2）根據題意，得：

解得：x1=9，x2=13.

∵銷售單價不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，∴x=13不合題意，

答：若該經營部日均獲利1350元，那么銷售單價是9元.

注意一下：在解方程（x-5）（-50x+850）-250=1350時，方程可化為-50（x-5）（x-17）=-1600，即（x-5）（x-17）=-32，利用“均值平方差法”可得：［（x-11）+6］［（x-11）-6］=-32，

教師點評

數學的學習關鍵之處是“整體地學，聯系地學”，在于提煉與歸納.這篇文章發現了連通乘積式與配方法之間的橋梁，鋪設了一元二次方程和二次函數恒等變形的快速通道.