由一道一元二次方程的求值問題展開的聯(lián)想

余旭紅

近幾年中考中，一元二次方程的求值問題頻頻出現(xiàn)，這類問題起點低，立意高，同學(xué)們要學(xué)會一元二次方程的多種求解方法，靈活解決相關(guān)的求值問題.下面筆者從2018年的一道中考題出發(fā)，通過層層拓展，例舉一元二次方程求值的相關(guān)思路，旨在和同學(xué)們交流探討.

一、由一元二次方程的解的定義展開求值

例1 （2018·江蘇鹽城）已知一元二次方程x2+k-3=0有一個根為1，則k的值為（ ）.

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=1代入方程得關(guān)于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可.

解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2.

故選：B.

【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程解的定義代入求值.

拓展1 （2018·江蘇揚州）若m是方程2x2-3x-1=0的一個根，則6m2-9m+2015的值為________.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義和整體思想即可求出答案.

解：由題意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1，∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018.

故答案為：2018.

【點評】此類問題不僅用到了一元二次方程解的定義，而且用到了整體法求整式的值.

二、由一元二次方程的求解展開求值

拓展2 （2018·山東泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情況是（ ）.

A.無實數(shù)根

B.有一個正根，一個負(fù)根

C.有兩個正根，且都小于3

D.有兩個正根，且有一個根大于3

【分析】直接整理原方程，用配方法解方程得出x的值.

解：（x+1）（x-3）=2x-5，整理得：x2-2x-3=2x-5，則x2-4x+2=0，（x-2）2=2，解得：x1=2+ 2＞3，x2=2- 2，故有兩個正根，且有一根大于3.

故選：D.

【點評】解決此類問題關(guān)鍵是化簡一元二次方程，然后用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠糖蠼?

拓展3 （2018·臺灣）若一元二次方程x2-8x-3×11=0的兩根為a、b，且a＞b，則a-2b之值為（ ）.

A.-25 B.-19 C.5 D.17

【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=-3，然后計算代數(shù)式a-2b的值.

解：（x-11）（x+3）=0，x-11=0或x-3=0，所以x1=11，x2=-3，由a＞b得a=11，b=-3，所以a-2b=11-2×（-3）=11+6=17.

故選：D.

【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是學(xué)會用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠踢M(jìn)行求解.

三、由一元二次方程的求解展開幾何問題的求值

拓展4 （2018·貴州安順）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2-7x+10=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（ ）.

A.12 B.9 C.13 D.12或9

【分析】求出方程的解，即可得出三角形的邊長，再求出周長即可.

解：x2-7x+10=0，（x-2）（x-5）=0，x-2=0，x-5=0，x1=2，x2=5.

①等腰三角形的三邊是2，2，5，∵2+2＜5，∴不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不符合題意.

②等腰三角形的三邊是2，5，5，此時符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長是2+5+5=12.

即等腰三角形的周長是12.

故選：A.

【點評】解決此類問題不僅要熟練地應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋乙獙W(xué)會用幾何性質(zhì)對所求的幾何量進(jìn)行判別，確定正確的解.

四、轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過方程求解展開求值

解：由題意得：2b（b-a）+a（b-a）+3ab=0，整理得解得

【點評】解決此類問題要學(xué)會把分式方程化為關(guān)于某個未知數(shù)的一元二次方程，不僅要熟練地應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行方程的求解，而且要體會整體數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

拓展6 （2018·湖北十堰）對于實數(shù)a，b，定義運算“※”如下：a※b=a2-ab，例如，5※3=52-5×3=10.若（x+1）※（x-2）=6，則x的值為_____.

【分析】根據(jù)新定義把一個未知方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過方程求解進(jìn)行求值.

解：由題意得，（x+1）2-（x+1）（x-2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案為：1.

【點評】解決此類問題要學(xué)會從新定義的描述中把未知方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，從而熟練地用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行方程的求解.

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)錢清鎮(zhèn)中學(xué)）