走進中考看“根的判別式”

康海芯

一元二次方程根的判別式是一元二次方程的重要內容，也是各地中考的必考知識.縱觀近兩年全國各地中考試題中，這部分內容的考查主要包括直接運用根的判別式判定方程根的情況、依據方程根的情況確定字母系數的取值范圍等，它通常和其他數學知識結合在一起，注重考查同學們靈活運用根的判別式分析問題和解決問題的能力，試題難度不大，分值占全卷的6%左右.為幫助大家了解根的判別式的有關考點，本文將結合中考題加以分析.

考點1：不解方程判定方程根的情況

例1 （2017·江蘇揚州）一元二次方程x2-7x-2=0的實數根的情況是（ ）.

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.沒有實數根

D.不能確定

【分析】先計算判別式的值，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況.

解：∵Δ=（-7）2-4×（-2）=57＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根.

故應選：A.

【評注】本題直接考查了一元二次方程根的判別式的知識，解答這類問題的關鍵是掌握一元二次方程根的判別式（b2-4ac）與一元二次方程根的情況之間的關系.

考點2：根據方程根的情況判定字母系數的取值范圍（或值）

例2 （1）（2018·江蘇揚州）關于x的方程mx2-2x+3=0有兩個不相等的實數根，那么m的取值范圍是_______.

【分析】（1）根據方程有兩個不相等的實數根可知兩個結論：

①該方程是一元二次方程，即m≠0.

②該方程根的判別式大于0，即Δ＞0.

求解上述兩個不等式組成的關于m的不等式組即可得到m的取值范圍；

（2）根據一元二次方程有兩個相等的實數根可得該方程根的判別式等于0，即Δ=0，求解關于m的一元一次方程，然后代入代數式求值即可.

解：（1）∵方程mx2-2x+3=0有兩個不相等的實數根，

【評注】一元二次方程一般形式要求二次項系數不為0，這一點在此類問題中經常被忽視；一元二次方程有兩個實數根包含兩個不相等實數根和兩個相等實數根兩種情況，也需要綜合考慮，不能遺漏.

考點3：判定含有字母系數方程根的情況

例3 （2018·北京）關于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

（1）當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況.

（2）若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根.

【分析】（1）先依據根的判別式求出Δ的表達式，利用平方的非負性來判斷Δ的符號，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況.

（2）利用方程有兩個相等的實數根得到Δ=b2-4a=0，設b=2，a=1，方程變形為x2+2x+1=0，然后解方程即可.

解：（1）因為ax2+bx+1=0是一元二次方程，所以a≠0，

當b=a+2時，Δ=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4，

∴方程有兩個不相等的實數根.

（2）∵方程有兩個相等的實數根，

即b2=4a，

因為a，b的取值不唯一，如b=2，a=1，則方程變形為x2+2x+1=0.

解得x1=x2=-1.

【評注】利用根的判別式判定含有字母系數的一元二次方程根的情況時，常用的解法是利用配方法對判別式進行變形，根據平方的非負性證明即可.

考點4：根據一元二次方程方程根的情況確定方程的根

例4 （2018·福建）已知關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數根，下列判斷正確的是（ ）.

A.1一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根

B.0一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根

C.1和-1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根

D.1和-1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根

【分析】根據方程有兩個相等的實數根可得出Δ=0，即4b2-4（a+1）2=0，得到b=a+1或b=-（a+1）.當b=a+1時，-1是方程x2+bx+a=0的根；當b=-（a+1）時，1是方程x2+bx+a=0的根.再結合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根.

解：∵關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數根，根據題意得：

∴b=a+1或b=-（a+1）.

當b=a+1時，有a-b+1=0，此時-1是方程x2+bx+a=0的根；

當b=-（a+1）時，有a+b+1=0，此時1是方程x2+bx+a=0的根.

∴1和-1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根.

故應選：D.

【評注】本題考查的是一元二次方程有兩個相等實數根的條件下探究根的取值，考查角度新穎.解答這類問題的關鍵是發現根的判別式與方程之間存在的隱含數量關系.

考點5：根的判別式與其他知識的綜合

例5 （2018·湖北鄂州）已知關于x的方程x2-（3k+3）x+2k2+4k+2=0.

（1）求證：無論k為何值時，原方程都有實數根.

（2）若該方程的兩實數根x1、x2為一菱形的兩條對角線之長，且x1x2+2x1+2x2=36，求k值及該菱形的面積.

【分析】（1）計算根的判別式Δ與0的關系，即可確定原方程根的情況.

（2）根據一元二次方程根與系數的關系及已知條件，可構造關于k的方程，可求得k.菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，即

解：（1）Δ=b2-4ac

∵無論k為何值時，（k+1）2≥0，

∴無論k為何值時，原方程都有實數根；

（2）由根與系數的關系可得：

【評注】關于x1，x2的對稱式通常可以轉化成只含x1+x2，x1x2形式的式子，然后將x1+x2=代入.要特別注意一元二次方程根與系數的關系應用的前提條件是方程必須要有兩個實數根，即Δ大于或等于0.