明晰基本模型掌握問題本質(zhì)

葉智超

同學們，一元二次方程是解決實際問題的一種重要基本模型.而用方程解決實際問題的本質(zhì)是尋找實際問題中的相等關系.一元二次方程的相等關系一般為：a×b=c（常量）型，若a、b之間具有聯(lián)系，則a與b可用含同一個未知量的代數(shù)式（一次式）表示，再根據(jù)相等關系就可建立一元二次方程.例：矩形的周長為14cm，面積為12cm2，求該矩形長與寬.本題相等關系為：長×寬=12，長與寬之間的聯(lián)系為：長+寬則長與寬都可用含同一未知量的一次式表示.如設寬為xcm，則長為（7-x）cm，再通過相等關系：長×寬=12，兩個一次代數(shù)式相乘，就可建立一元二次方程x（7-x）=12.

一元二次方程應用中的基本模型一般有圖形的面積（體積）模型、增長率（下降率）模型、銷售利潤模型3種.

一、圖形的面積（體積）模型

例1 如圖，我區(qū)準備用一塊長為60m，寬為54m的矩形荒地建造一個綜合性休閑廣場，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的兩個完全一樣的矩形區(qū)域?qū)佋O塑膠作為運動場地.若塑膠運動場地總面積為2700m2，求通道的寬度.

【解析】本題可將兩個矩形區(qū)域拼成一個大矩形，則相等關系為：大矩形的長×大矩形的寬=大矩形的面積.故可根據(jù)該相等關系設未知數(shù)，建立一元二次方程.

【解答】設通道的寬度為xm.根據(jù)題意，得（60-3x）（54-2x）=2700.解這個方程，得x1=2，x2=45（不合題意，舍去）.

答：通道的寬度為2m.

【點評】本題是典型的圖形面積模型，除了拼接大矩形解決問題，也可用：整個圖形的面積-通道面積=塑膠運動場地總面積.同學們在解決此類問題時，只需找到圖形之間面積（體積）關系即可.

二、增長率（下降率）模型

例2某電視機廠今年3月的產(chǎn)量為50萬臺，5月上升到72萬臺，求該廠平均每月產(chǎn)量增長的百分率.若設該廠平均每月產(chǎn)量增長的百分率為x，則列出的方程是_______.

【解析】電視機廠今年3月的產(chǎn)量為50萬臺，則4月的產(chǎn)量增加了50x萬臺，4月的產(chǎn)量為50+50x=50（1+x）萬臺；5月產(chǎn)量增加了50（1+x）x萬臺，5月產(chǎn)量為50（1+x）+50（1+x）x=50（1+x）2萬臺.再根據(jù)相等關系——5月產(chǎn)量=72，從而解決問題.

【解答】50（1+x）2=72.

【點評】本題是基本的增長率問題，同學們要理解a（1+x）n的意義，而不是機械模仿，只有真正理解，才能舉一反三.

模型變形一：甲、乙兩家專賣店一月份銷售額分別為10萬元和15萬元，三月份銷售額甲店比乙店多10萬元.已知甲店二、三月份銷售額的月平均增長率是乙店二、三月份月平均增長率的2倍，求甲店、乙店這兩個月的月平均增長率各是多少？

【解析】本題相等關系為：甲店三月份銷售額-乙店三月份銷售額=10.兩店三月份銷售情況可用基本增長率問題表示，進而得到正確解答.

【解答】設乙店這兩個月的月平均增長率為x，則甲店這兩個月的月平均增長率為2x.根據(jù)題意，得10（1+2x）2-15（1+x）2=10.解這個方程，得x1=0.6，x2=-1（不合題意，舍去）.答：乙店這兩個月的月平均增長率為60%，則甲店這兩個月的月平均增長率為120%.

【點評】本題是雙增長率問題.兩店二、三月份銷售額都在增長，二者的增長率存在一定關系，但需要根據(jù)相等關系——甲店三月份銷售額-乙店三月份銷售額=10來解決.

模型變形二：某農(nóng)場去年種植了10畝地的南瓜，畝產(chǎn)量為2000kg，根據(jù)市場需要，今年該農(nóng)場擴大了種植面積，并且全部種植了高產(chǎn)的新品種南瓜.已知南瓜種植面積的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的2倍，今年南瓜的總產(chǎn)量為60000kg，求南瓜畝產(chǎn)量的增長率.

【解析】可根據(jù)基本增長率問題用未知數(shù)表示畝產(chǎn)量、種植面積，再根據(jù)相等關系——畝產(chǎn)量×種植面積=總產(chǎn)量建立方程.

【解答】設南瓜畝產(chǎn)量的增長率為x，則種植面積的增長率為2x.根據(jù)題意，得10（1+2x）·2000（1+x）=60000.解這個方程，得 x1=0.5，x2=-2（不合題意，舍去）.答：南瓜畝產(chǎn)量的增長率為50%.

【點評】本題是雙增長率問題.畝產(chǎn)量與種植面積都在增長，二者的增長率存在一定關系，但解決問題的本質(zhì)還是要抓住相等關系：畝產(chǎn)量×種植面積=總產(chǎn)量.

三、銷售利潤模型

例3 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件.若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？

【解析】本題是典型銷售利潤模型，相等關系一般為：單位利潤×銷售數(shù)量=總利潤.而單位利潤=售價-成本，單位利潤和銷售數(shù)量都與漲價或降價有關，從而據(jù)此設未知數(shù)建立方程.

【解答】假設每件襯衫降價x元，依題意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x=10或x=20.∵要盡快減少庫存，∴每件襯衫降價20元，商場平均每天可盈利1200元.

【點評】本類問題已知量一般較多，同學們可用下表：____________________________

______________________________________售價 成本_銷售數(shù)量__________________________________________原來__________________________________________現(xiàn)在

厘清已知量、未知量之間的關系，進而解決問題.

例4某批發(fā)商以40元/kg的成本價購入了某產(chǎn)品700kg，據(jù)市場預測，該產(chǎn)品的銷售價y（元/kg）與保存時間x（天）的函數(shù)關系為y=50+2x，但保存這批產(chǎn)品平均每天將損耗15kg.另外，批發(fā)商每天保存該批產(chǎn)品的費用為50元.已知該產(chǎn)品每天的銷量不超過600kg，若批發(fā)商希望通過這批產(chǎn)品賣出獲利7000元，則批發(fā)商應在保存該產(chǎn)品多少天時一次性賣出？

【解析】可根據(jù)相等關系——銷售價×銷量-成本價×總量-保存費用=獲利解決本題.

【解答】設批發(fā)商應在保存該產(chǎn)品x天時一次性賣出，可獲利7000元.根據(jù)題意，得（50+2x）（700-15x）-700×40-50x=7000.解得x1=20，x2=0.當x=0時，700-15x=700＞600（不合題意，舍去），當x=20時，700-15x=400＜600.答：批發(fā)商應在保存該產(chǎn)品20天時一次性賣出，可獲利7000元.

【點評】本題若根據(jù)相等關系——單位利潤×銷售數(shù)量-保存費用=總利潤，極易產(chǎn)生如下錯誤做法：設批發(fā)商應在保存該產(chǎn)品x天時一次性賣出，可獲利7000元.由題意，得（50+2x-40）（700-15x）-50x=7000.同學們，你能發(fā)現(xiàn)它的錯誤嗎？該做法漏減了損耗部分的成本.

四、其他模型

例5學期伊始，初一新生彼此握手，互相介紹自己，某班級同學共握手378次，那么該班級有多少名同學？

【解析】由于甲與乙握手與乙與甲握手重復一次，故每人握手的次數(shù)×總?cè)藬?shù)所得積的一半才是握手總次數(shù).所以本題的相等關系為每人握手的次數(shù)×總?cè)藬?shù)）=握手總次數(shù).而每位同學都需和除自己外的每一位同學握手，所以每人握手次數(shù)=總?cè)藬?shù)-1.

【解答】設班級有x名同學解得x=28，答：該班級有28名同學.

【點評】本題是一道經(jīng)典問題——握手問題，同學們相應的可以利用該模型探索互送禮物問題、比賽場次問題、已知點的個數(shù)確定線段的個數(shù)問題、已知兩站點確定車票種類等一

小試牛刀

1.將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形.

（1）若兩個正方形的面積之和等于12.5cm2，求做成的兩個正方形的邊長.

（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由.

2.某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為200千克，出油率為50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）.現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的求新品種花生畝產(chǎn)量的增長率.

3.一列火車往返于兩城市之間，每次運行?？咳舾蓚€站（包括起點站和終點站），故鐵路部門共有56種不同的車票發(fā)售，求兩城市之間共有多少個站點（包括起點站和終點站）.

4.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件.若生產(chǎn)的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.