基于Tukey法改進時間序列平穩性檢驗的分段檢驗法

蔡林芝，呂王勇

（四川師范大學 數學與軟件科學學院，成都 610068）

0 引言

常用的時間序列平穩性檢驗方法可分為時序圖判斷法[1,2]、自相關系數檢驗法[3-5]、分段檢驗法[1]、游程檢驗法[6,7]四種。時序圖法與自相關系數法都是根據圖形特征來判定序列平穩性，有一定的主觀性[1]，而游程檢驗法和分段檢驗法都采用假設檢驗，可信度高。分段檢驗先對序列分段，再分別對段與段之間均值與協方差函數是否相等進行假設檢驗，若有一個假設不成立則原時間序列就為非平穩的。需要進行多個假設檢驗，若每一個檢驗犯第一類錯誤的概率為α，則各段均值與自協方差函數都相等的假設累計犯第一類錯誤的概率均會超過α，即由于樣本的隨機性會使得各段序列均值與自協方差函數被誤判為不全相等的概率均會超過α，從而使平穩時間序列被誤判為非平穩的概率增大，降低了分段檢驗的可信度。

Tukey于1951年提出的Tukey法[8]是解決多個水平均值中兩兩均值相等的檢驗同時發生概率低的有效方法，構造一個t化極差統計量，將其犯第一類錯誤的概率控制在α以內。本文基于Tukey法，在均值與自協方差函數兩兩比較中各構造一個t化極差檢驗，分別給定檢驗臨界值，比較t化極差統計量與其相應臨界值的大小；若小于相應的臨界值，則認為各段均值間或自協方差函數間無顯著性差異，將其犯第一類錯誤的概率均控制在α以內，即由于樣本的隨機性使得各段序列均值與自協方差函數被誤判為不全相等的概率控制在α以內，降低了序列被誤判為非平穩的概率，提高了時間序列分段檢驗的有效性。

1 經典的分段檢驗理論

通常將按照時間順序排列的隨機序列 X1，X2，...，XN稱為一個時間序列，簡記為{Xt，t∈T}。對每個給定的時刻t，Xt是一個隨機變量。若時間序列{Xt}的二階矩存在，且滿足：

①對?t∈T，EXt=μ；

②對?t，s∈T，E(Xt-μ)(Xs-μ)=γt-s=γτ，

就稱{Xt}為平穩時間序列，其中τ=t-s為時間間隔，γτ為{Xt}的間隔為τ的自協方差函數。若{Xt}為平穩序列，將其等分為k段，則每段也應平穩，且段與段之間的均值、自協方差函數也相等。用 μ(i)，，i=1，2，...k 分別表示第i段的總體均值與間隔為τ的自協方差函數，則有：

現用分段檢驗的方法檢驗長度為N的時間序列的平穩性，將其均分成長度為M的k個子序列，則N=M·k。若每個子序列服從正態分布或近似服從正態分布，用隨機變量 X(i)，i=1，2，...，k 表示子序列總體，則有 X（i)～N(μ(i)，σ)，其中 σ為第i段總體方差。檢驗任意兩段均值與自協方差函數是否有顯著差異，若其均無明顯差異，則認為總體序列是平穩的；若至少有一組存在顯著性差異，則認為是非平穩的。由此，需以顯著性水平α分別檢驗C組兩兩均值以及C組兩兩自協方差函數是否相等[9,10]，至少有一組存在顯著差異的概率均為1-(1-α。故當k＞2時，兩兩均值檢驗，兩兩協方差函數檢驗犯第一類錯誤的概率均會超過水平α，且隨著k增加，會使得其犯第一類錯誤的概率均大大增加，檢驗的有效性低。本文基于Tukey法在均值與自協方差函數兩兩比較中各構造一個t化極差統計量，使得分段檢驗中各段均值都相等與自協方差函數都相等的假設累計犯第一類錯誤的概率均控制在α以內，降低了序列被誤判為非平穩的概率，提高了時間序列分段檢驗的有效性。

2 基于Tukey法的總體均值兩兩檢驗

設樣本序列 x1，x2，...，xN為時間序列 X1，X2，...，XN的一次觀測，將其均分成長度為M的k個子序列，分段后樣本子序列可表示為為正態或近似正態總體的樣本。對于這k個子序列，分別計算它們的樣本均值與樣本自協方差函數如下：

分別檢驗第i段與第z段(1≤i＜z≤k)總體均值是否相等，構成了一個多重比較，即以顯著性水平α分別檢驗如

其中：

為σ2的無偏估計。則檢驗問題在水平α下的接受域為：

故有：

因此：

是自由度為k，N-k的t化極差分布[12,13]，當取定P(W|都成立)=α時，為t化極差分布的右側α分位數 q1-α(k，N-k)，可由t化極差分布表查得。此時，檢驗問題在水平α下的接受域為：

因此，本文基于Tukey法構造的一個t化極差檢驗，將各段均值都相等的假設累計犯第一類錯誤的概率控制在α內，降低了序列均值被誤判為不全相等的概率，提高了時間序列分段檢驗的有效性。

3 基于Tukey法的總體自協方差函數的兩兩檢驗

當 τ=0，1，...，M-1 時，分別檢驗第 i段與第 z 段(1≤i＜z≤k)總體自協方差是否相等，則對?τ=0，1，...，M-1都將進行C次兩兩自協方差檢驗。由中心極限定理知隨機變量，此時對第 i段與第z段總體自協方差函數是否相等的假設檢驗如下：

其中：

ρτ為總體自相關系數，s為σ的無偏估計。則檢驗問題H(τ)在水平α下的接受域為：

其中，cτ應在都成立)確定。

其中：

因此，本文基于Tukey法構造的t化極差檢驗，將各段自協方差函數都相等的假設累計犯第一類錯誤的概率控制在α內，降低了序列自協方差函數被誤判為不全相等的概率，提高了時間序列分段檢驗的有效性。

4 總結

分段檢驗是研究時間序列平穩性的常用方法，傳統的分段檢驗理論會使平穩時間序列被誤判為非平穩的概率增大，有效性低。本文基于Tukey法在各段均值與自協方差函數相等的檢驗中各構造了一個t化極差統計量，減少了檢驗犯第一類錯誤的概率，從而降低了平穩序列被誤判為非平穩的概率，提高了時間序列平穩性檢驗的分段檢驗方法的有效性。