時間序列非線性存在性檢驗方法及其應用

舒曉惠，宋金奇

（1.懷化學院 經濟學院，湖南 懷化 418000；2.江西師范大學 科技學院，南昌 330027）

0 引言

對經濟時間序列本身或者經濟時間序列組是否存在非線性的檢驗，檢驗思路可以分為參數檢驗方法、非參數檢驗方法以及視覺計量經濟學（Ocular Econometrics）。對于參數檢驗方法，Ramsey(1969)[1]提出了RESET檢驗，其思路為將序列進行AR(p)濾波后的殘差對序列的滯后項及估計值的k(k=2，3，...，s)次冪進行回歸，使用 F 統計量進行檢驗；Keennan(1985)[2]簡化為僅考慮k=2的情形，同時修正了RESET檢驗可能存在的多重共線性；Tsay(1986)[3]則選擇將交叉項也考慮進來以改進檢驗功效。RESET檢驗主要對平均的線性偏離程度很敏感。對于非參數檢驗方法，主要有Mcleod和Li(1983)[4]提出應用Ljung-Box Q統計量對殘差序列平方檢驗非線性性；Hinich(1982)[5]提出應用雙譜檢驗法，Ashley等(1986)[6]研究表明雙譜檢驗對均值意義上的線性偏離很敏感。Brock,Dechert,Scheinkman(1996)[7]提出BDS檢驗，其對均值意義上的線性偏離也很敏感。Lee等(1993)[8]提出神經網絡檢驗并與其他非線性檢驗進行MC比較，結果表明所用神經網絡檢驗除對雙線性模型檢驗效果差之外，對其他模型則相近于或優于標準檢驗，同時研究認為由于沒有一個支配性檢驗方法，建議進行組合檢驗；舒曉惠（2010）提出使用平方殘差的Q檢驗、BDS檢驗以及神經網絡檢驗方法進行組合檢驗。還有一種思路則是基于視覺計量經濟學思想，即對時間序列進行圖形的直觀非線性分析：Hinich(1982)[5]以及Ashley等(1986)[6]通過對時間序列分析畫出雙譜三維圖，若序列為線性的，則譜圖是平坦的，若序列為非線性的，那么雙譜圖為不平坦的；PCA（Principal Component Analysis）主成分分析圖方法則是基于Packad等（1980）提出的對濾波后的時間序列進行相空間重構法，進一步畫出主分量譜圖，若序列為線性的，則PCA譜圖為一條接近水平的直線，否則為非線性的；Gilmore(1993)[9]在對混沌的存在性檢驗研究中提出鄰近返回檢驗，同時畫出鄰近返回檢驗圖，舒曉惠（2010）實證研究發現，當圖中呈現一定的周期性規律，則直觀表明存在非線性特征。對于非線性非平穩時間序列，對其進行非線性存在檢驗，是非線性協整理論中的重要環節。

近年來對于非線性協整領域的研究一直是非經典計量理論中的一個前沿，對于時間序列是否存在被忽略的非線性特征，本文給出了組合檢驗方法，并按照Lee等(1993)[8]的思路對我國貨幣需求函數展開各種方法的實證研究。本文介紹了非線性存在性的組合檢驗方法；運用Gauss編程對我國貨幣需求函數的各變量序列展開非線性存在性的組合檢驗并給出實證研究結果。

1 非線性存在性的檢驗方法

按照Lee等(1993)[8]給出的對于被忽略的非線性性的定義，對于隨機過程{Zt} ，令 Zt=(yt，X，其中，yt是一個標量，Xt為k×1向量。Xt可以（但不是必須）包含一個常數和yt的滯后值。若對于某些參數θ*∈Rk有P[E(yt|Xt)=X′]＜1，則該線性模型則被稱為“被忽略的非線性性”的。對于序列的非線性存在性檢驗，基本思路是首先使用一個估計濾波器對線性結構進行濾波，具體做法是：用一個AR(p)模型來擬合序列，滯后階數 p可用AIC來確定，其次，則是對估計的殘差進行非線性存在性檢驗，由于非線性形式的多樣性，目前并沒有一種較其他方法更好的檢驗方法。依據Lee等(1993)[8]的研究結果，本文重點探討Q檢驗、BDS檢驗以及神經網絡檢驗方法，并且引入BP加強型神經網絡和小波神經網絡。

1.1 平方殘差的Q檢驗

Mcleod和Li(1983)[4]提出基于平方殘差的Q檢驗，其基本思路為對序列應用ARMA(p,q)模型濾波后的殘差平方，再應用Ljung-Box Q統計量來檢驗序列的非線性存在性。該檢驗統計量為：

這里，{rt} 為殘差序列的i階自相關函數，T為樣本序列長度，m為選取的檢驗自相關的數目。

當原假設為真時，即檢驗的時間序列模型為線性時，有統計量 Q(m)～χ2(m-p-q)。

本文按照Lee等(1993)[8]的研究思路，首先對檢驗序列進行AR(p)濾波，然后進一步對濾波后的殘差序列再應用上述式（1）統計量，則有，Q(m)～χ2(m-p)。

1.2 BDS檢驗

BDS檢驗由Brock,Dechert和Scheinkman(1987)在研究混沌存在性檢驗中應用關聯積分提出的，Liu,Granger和Heller(1992)研究表明，對于原假設為序列是獨立同分布的，BDS檢驗也可以識別線性隨機過程與非線性隨機過程。其基本思路為：設原假設為{H0:xt是i.i.d.的，i=1,2,…,T}，利用相空間重構技術，設相空間Rm中不相交的兩點i≠j，對于給定的某一臨界距離ε，則有相空間中關聯函數為：

這里，Θ(·)為Heaviside函數，即：當 u≥0，有θ(u)=1，否則θ(u)=0之間的歐氏距離（或其他范數‖·‖）。

令 S(m，ε)=Cm(ε)-[C1(ε)]m，則當原假設成立，構建統計量：M S(m，ε)漸近服從正態分布，其均值為0，方差為：C= ∫[F(z+ε)-F(z-ε)]dF(z),L= ∫[F(z+ ε)-F(z-ε)]2dF(z),而C1(ε)為C的相合估計，L的一致估計為：

由此，BDS統計量為：

實踐中，應用BDS檢驗時，首先對序列進行AR(p)濾波將線性部分消除，則當檢驗拒絕原假設時，則說明存在“被忽略的非線性”。

1.3 神經網絡檢驗

由于神經網絡可以逼近任意函數，其具有廣泛的應用，Lee等(1993)[8]研究了應用神經網絡檢驗來檢驗被忽略的非線性：當時間序列為線性的原假設為真時，即（對于某些θ*），考慮連接增強型單隱層網絡的輸出個邏輯斯蒂累積分布函數：ψ(x)=1/[1+exp(-x)]），此時，最優的網絡權數為；那么非線性存在性檢驗可表述為對于特定的 q 和 γj將檢驗假設=0（j=1，2，...，q）。Lee等(1993)[8]提出，檢驗可以利用拉格朗日乘數檢驗。本文按此思路，將單個時間序列的非線性存在性檢驗表述為：設時間序列xt與其滯后項存在關系如式（5）：

ut為白噪聲，且 ut～N(0，σ2)。

在線性性原假設下，則有 f*(xt-1，...，xt-p)=0 ；那么應用 AR（p）對 xt進行濾波，得到殘差序列：，進一步應用加強型神經網絡估計此殘差序列的輔助回歸方程如式（6）：

類似Breitung（2001）的證明，式（2）的拉格朗日乘子（LM）得分統計量 TR2，在原假設為真時有：TR2～χ2(q)。考慮到神經元的共線性問題，按照Lee等(1993)[8]的建議，可用其q*個主成份代替，則有TR2～χ2(q*)。

在具體檢驗時，舒曉惠（2010）MC仿真研究發現，適合應用的線性加強型神經網絡有:基于改進的帶動量的LM算法的BP加強型神經網絡，以及改進的帶動量的LM算法的加強型小波神經網絡模型，其中小波神經網絡模型神經元函數使用高斯小波和墨西哥帽（Mexican hat）小波。

加強型S型BP神經網絡模型為：

加強型小波神經網絡模型為：

這里，神經元的函數為：高斯小波，ψ(x)=xexp(-x2/2)；墨西哥帽（Mexican hat）小波，ψ(x)=(1-x2)exp(-x2/2)。

2 應用

2008年國際金融危機后，各國都在實施量化寬松貨幣政策，我國也實施了4萬億的經濟振興計劃，貨幣發行量迅速增長；近年來經濟進入新常態，貨幣政策也有所改變，那么影響貨幣需求的變量序列的平穩性發生變化了嗎？考慮到非線性性的存在，本文擬Q檢驗、BDS檢驗、BP加強型神經網絡、加強型高斯小波神經網絡以及加強型墨西哥帽小波神經網絡方法組合檢驗貨幣需求函數的各變量序列進行非線性存在性，進而探討相關結論。

2.1 變量選擇和模型設定

考慮開放經濟條件下對貨幣需求函數影響[10，11]，根據我國貨幣供應量的劃分，本文使用舒曉惠等（2009）[12]給出的狹義貨幣(M1)和廣義貨幣(M2)需求函數如下：

其中，m1為季節調整后的實際狹義幣余額，m2為季節調整后的廣義貨幣余額；規模變量，y為實際GDP，s為股票流通市值；國內機會成本變量，rd為我國銀行間同業拆借加權平均利率，pd為通貨膨脹率；國際資本流動的決定變量，e為匯率，ve為匯率波動率，rf為國外利率，pf為國外通貨膨脹率；考慮我國經濟開放度的增加，引入制度變量外貿依存度op；ε1,ε2為誤差項。

2.2 變量序列數據來源、處理

選取1994年第1季度至2017年第3季度共95個季度數據作為計量分析的樣本。以1994年1季度為基期，環比計算CPI，然后通過定基CPI將GDP、股票流通市值、M1和M2折減為實際值，并應用X12法進行季節調整，得到y、s、m1、m2和e；我國及美國通貨膨脹率則根據我國季度環比CPI和美國CPI計算得到。先把進出口總額按名義匯率折算成人民幣值表示，然后除以國內生產總值的季度數據得到貿易依存度(op)；匯率波動率（ve）用名義匯率取對數后的當期值減上期值乘以100得到。

2.3 非線性存在性檢驗

按照Lee等(1993)[8]的探討，非線性存在性檢驗用于探討平穩序列的“非線性存在性”問題。因此，首先對貨幣需求函數中的各變量序列分別進行差分，應用傳統單位根檢驗方法ADF、DF-PP以及KPSS檢驗，其結果如表1所示。

由表1，多數變量序列均以1%顯著性水平通過了差分后是平穩的，但仍有m2，y，e三變量差分沒有通過ADF檢驗，同時，rd，ve兩變量檢驗結果KPSS檢驗與ADF、DF-PP檢驗存在差異，因此，進一步對這些變量應用單位根的秩檢驗與全距檢驗[12]，差分后的檢驗結果如表2所示。

綜合表1與表2的檢驗結果，可以得到除序列ve是水平值平穩，而其余變量為差分后平穩。進一步，對ve其他各差分序列進行AR(p)濾波后，再對其殘差再應用前述組合檢驗方法進行非線性存在性檢驗。

步驟1，對于各檢驗序列，按表1中的滯后期數 p應用AR(p)進行擬合，得到濾波后的殘差序列，記為r(Dm1)，r(Dm2)，r(Dy)，r(Drd)，r(Drf)，r(Dpd)，r(Dpf)，r(ve)，r(Ds)，r(De)與r(DOp)。

步驟2，應用Q檢驗、BDS檢驗、BP加強型神經網絡、加強型高斯小波神經網絡以及加強型墨西哥帽小波神經網絡方法組合檢驗貨幣需求函數的各序列進行非線性存在性檢驗結果如下頁表3所示。

表1 單位根的ADF、DF-PP以及KPSS檢驗結果

表2 單位根的秩檢驗與全距檢驗結果

由表3可知，各檢驗統計量檢驗結果一致通過存在非線性性的變量有：r(Dm1)，r(Dm2)，r(Drd)，r(Dpd)，r(ve)，r(Ds)與 r(DOp)；檢驗結果基本一致的變量有：r(Dy)，r(Drf)，r(Dpf)與r(De)；序列ve由于滯后期為0，因此各方法無法給出檢驗結果。綜合各檢驗統計量的結果看，式（9）與式（10）建立的貨幣需求函數中，各經濟變量序列均存在不同程度的被忽略的非線性。由此可見，在實證研究貨幣需求函數的穩定性問題時，應該充分考慮各經濟序列可能存在的非線性對應用傳統檢驗統計量的影響；同時，基于線性性前提的線性協整理論在貨幣需求函數的穩定性探討上的適用性也值得商榷。因此，也有必要在貨幣需求函數模型構建也檢驗中引入非線性研究方法。

表3 貨幣需求函數各變量序列的非線性存在性檢驗結果

3 結論

本文對貨幣需求函數各序列按照Lee等(1993)[8]的思路，應用Q檢驗、BDS檢驗、BP加強型神經網絡、加強型高斯小波神經網絡以及加強型墨西哥帽小波神經網絡方法等組合檢驗方法進行實證檢驗，結果表明，組合檢驗可以發現經濟序列中的非線性特征。由于神經網絡理論上對任意函數具有無限逼近的特點，同時也存在過度擬合的問題，因此，在進行具體操作時，需要考慮不同神經元函數的特性，選擇神經元的個數與逼近誤差等，實證表明線性加強型神經網絡可以應用于非線性存在性的檢驗。本文實證結果也表明，貨幣需求函數建模中的各經濟變量序列均存在不同程度的被忽略的非線性，這有必要在貨幣需求函數模型構建也檢驗中引入非線性研究方法。最后，實證研究為經濟變量序列存在的非線性特征提供了一個重要證據，這也進一步要求我們在研究經濟內在規律中考慮非線性協整理論與方法的應用。