基于自適應(yīng)Lasso變量選擇方法的指數(shù)跟蹤

秦曄玲，朱建平

（1.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 晉中 030600；2.廈門大學(xué)a.管理學(xué)院；b.數(shù)據(jù)挖掘研究中心，福建 廈門 361005）

0 引言

計算機科學(xué)的快速發(fā)展使得當代科學(xué)研究能夠很容易地收集到海量數(shù)據(jù)集，特別是在金融領(lǐng)域。金融證券可以說是當代經(jīng)濟學(xué)的焦點之一，金融范疇中受到關(guān)注的一個重要問題就是投資組合管理。近年來關(guān)于指數(shù)化方面的投資發(fā)展迅速，指數(shù)跟蹤技術(shù)的目的是使投資者在精準復(fù)制標的指數(shù)市場表現(xiàn)的基礎(chǔ)上，獲得較高利益。

完全復(fù)制和非完全復(fù)制為指數(shù)跟蹤中最具代表性的兩種方法。跟蹤股票組合的最終目的為取得與標的指數(shù)大體相一致的收益；在評定實際的指數(shù)跟蹤效果中，跟蹤股票組合收益和標的指數(shù)收益之間的偏離程度可以設(shè)定為跟蹤股票組合優(yōu)劣的重要指標之一。該偏離程度可以用跟蹤誤差來衡量。

Markowitz（1952）[1]提出的均值-方差理論，在一定意義上可以看做是近代金融學(xué)的開端。但基于金融市場的股票收益率之間強共線性的原因，該理論構(gòu)建的組合并不穩(wěn)定；且在構(gòu)建股票組合時沒有全面地考慮到交易成本的影響，使得在數(shù)據(jù)的實際研究中很容易產(chǎn)生空頭頭寸，這一缺點使得該方法并不適用于我國的實際金融市場。針對上述問題，本文找到一種有效的解決方法，即選擇股票構(gòu)建組合進行投資，應(yīng)用高維變量選擇方法進行股票選擇。

高維變量選擇不僅廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)，而且在指數(shù)跟蹤的研究領(lǐng)域也被大量引入。傳統(tǒng)的子集選擇法是較為經(jīng)典的高維變量選擇方法，但該方法受實際數(shù)據(jù)的局限，且不穩(wěn)定。較子集選擇法更穩(wěn)定的方法是嶺回歸，但嶺回歸只能壓縮系數(shù)，不能將變量系數(shù)收縮到零達到完全剔除變量的目的，即達不到變量挑選的效果。高維變量選擇的流行方法為Lasso算法，它不僅克服了上述子集選擇和嶺回歸的各種缺點，而且實現(xiàn)了變量選擇和參數(shù)估計同時進行，所以被優(yōu)先使用在指數(shù)跟蹤領(lǐng)域的變量選擇中。

針對數(shù)量龐大的金融資產(chǎn)的有效選擇，本文將統(tǒng)計中自適應(yīng)Lasso選元方法應(yīng)用到股票選擇中，并且從實際情況出發(fā)，針對股票的特征加入非負約束，應(yīng)用非負自適應(yīng)Lasso變量選擇方法，選取一定數(shù)量的股票進行組合構(gòu)建最終達到良好的指數(shù)跟蹤效果，更好地平衡因數(shù)量過多產(chǎn)生的高交易成本和因數(shù)量較少出現(xiàn)的大跟蹤誤差。

在指數(shù)跟蹤問題的相關(guān)研究中，Larsen等（1998）[2]考慮股票數(shù)量及變更組合時機對于股票組合的影響，Bamberg等（2000）[3]考慮線性回歸方法在最優(yōu)組合選擇方面的應(yīng)用,Zorin等（2002）[4]考慮指數(shù)跟蹤的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。李儉富等（2006）[5]在證券價格時間序列基礎(chǔ)上提出協(xié)整優(yōu)化的指數(shù)跟蹤算法。但這些方法存在模擬復(fù)雜，計算耗時長，沒有充分利用歷史數(shù)和據(jù)信息等不足。在前人研究的基礎(chǔ)上，劉睿智等（2012）[6]將Lasso變量選擇方法應(yīng)用到投資組合研究中，并取得很好的效果。

本文主要基于自適應(yīng)Lasso的變量選擇視角選取適當?shù)哪M算法進行具體的股票選擇,并將深滬300兩年的歷史數(shù)據(jù)作為實證進行具體分析。研究內(nèi)容包括自適應(yīng)Lasso方法在股票選擇中的理論依據(jù)和實際效果兩個方面，關(guān)于股票選擇的跟蹤效果也進行了具體分析和實證對比。結(jié)果表明，自適應(yīng)Lasso在股票選擇中有很好的效果。

1 基于自適應(yīng)Lasso變量選擇方法的資產(chǎn)選擇

1.1 指數(shù)跟蹤與變量選擇方法

在傳統(tǒng)的投資組合領(lǐng)域中，資產(chǎn)池固定，無需重新選擇資產(chǎn)直接進行配置；而在現(xiàn)代金融投資組合領(lǐng)域，市場中資產(chǎn)數(shù)目眾多，數(shù)據(jù)量龐大，上述均值-方差模型在使用傳統(tǒng)最小二乘回歸方法進行股票選擇時還存在著一些缺陷：（1）資產(chǎn)收益之間的共線性問題,協(xié)變量之間的共線性問題是股票的相互關(guān)聯(lián)性在具體模型中的反映；（2）欠缺對交易費用的考慮，交易費用直接影響投資收益率，它是股票投資的重要因素；（3）各項資產(chǎn)的收益率或波動率對于權(quán)重結(jié)果的影響較大，造成結(jié)果不穩(wěn)定；（4）協(xié)方差矩陣估計困難，甚至出現(xiàn)因選取樣本量較少而導(dǎo)致矩陣X不可逆的情況，估計累計誤差巨大等一系列問題使得普通最小二乘法有誤。

針對普通最小二乘回歸選股方法產(chǎn)生的一系列問題,一個較為直接的解決辦法就是投資者需要對市場內(nèi)的資產(chǎn)進行初步篩選。股票市場的股票非常豐富，需要合理地選擇成分股的子集，即部分復(fù)制,然后進行指數(shù)跟蹤,使得跟蹤誤差最小化,以期望取得較好效果。以變量選擇方法為基本思想的股票選擇可以有效地解決上述問題。關(guān)于從大樣本數(shù)據(jù)中篩選有效信息的問題,Breiman（1995）[7]指出，傳統(tǒng)的最優(yōu)子集變量選擇方法計算量龐大且結(jié)果不穩(wěn)定，即變量選擇結(jié)果對于實際操作中數(shù)據(jù)集的變動十分敏感。所以本文采用現(xiàn)代研究中較為流行的基于系數(shù)收縮的最優(yōu)子集變量選擇方法。

關(guān)于系數(shù)收縮的最優(yōu)子集變量選擇的具體方法，Tibshirani（1996）[8]提出Lasso回歸算法，該方法的本質(zhì)是在回歸系數(shù)的絕對值之和小于一個常數(shù)的約束條件下,最小化殘差平方和。Lasso方法不但能夠有效地解決高維數(shù)據(jù)問題，而且能夠得到完全的稀疏模型，它解決了之前最小二乘法的不穩(wěn)定性和方差大的問題。Lasso方法優(yōu)于古典的變量選擇方法的一個具體表現(xiàn)為它是一個連續(xù)的過程，從而產(chǎn)生穩(wěn)定的結(jié)果；同時，它的計算量小，易于實現(xiàn)。所以該方法在篩選變量方面得到廣泛應(yīng)用，Wu等（2014）[9]將該方法應(yīng)用于經(jīng)濟領(lǐng)域的指數(shù)跟蹤并且在實證分析中取得較好的效果。

然而Lasso方法本身存在著一些缺陷：當處理共線性問題時，Lasso的選擇效果減弱；它的系數(shù)估計為有偏估計；只有在一定正則條件下才滿足變量選擇一致。針對上述問題，Zou（2006）[10]對其進行改進，在l1的懲罰系數(shù)前加自適應(yīng)權(quán)重，使改進后的方法具有了“神諭”性質(zhì)。自適應(yīng)Lasso為凸優(yōu)化問題，權(quán)重與數(shù)據(jù)相關(guān)，選取明確，它既保持了Lasso變量選擇方法的諸多優(yōu)點，又能夠有效地減少具體操作是在使投資組合的變動趨勢與標的指數(shù)大體相一致的基礎(chǔ)上，達到減小跟蹤誤差，取得與標的指數(shù)收益率相同的目的。指數(shù)跟蹤是指數(shù)基金的核心，對于指數(shù)跟蹤模型，設(shè) X=(x1，...，xp)是 p只股票多頭頭寸，y為1單位指數(shù)的多頭頭寸，則-y為1單位指數(shù)的空頭頭寸。由Markowitz均值-方差理論，所建立的模型是在保持組合收益率一定的情況下選擇系數(shù)使得組合方差極小化，且該組合頭寸的期望收益率為零，則實質(zhì)上是回歸模型[6]，表示為模型參數(shù)估計的有偏性，所以該優(yōu)化方法受到廣泛關(guān)注且應(yīng)用到實際變量選擇的諸多方面。

本文基于Lasso變量選擇方法將改進后的自適應(yīng)Lasso方法應(yīng)用到股票投資組合的初選中，并且考慮到股票的以下兩個特點，給系數(shù)估計加上非負約束條件：（1）股票中成分股的份額總是為正；（2）國家對于股市的賣空現(xiàn)象加強監(jiān)督，以穩(wěn)定股票市場。將其稱為非負自適應(yīng)Lasso變量選擇方法。

本文使用部分吸收來進行指數(shù)跟蹤，即選擇成分股的一個小子集，僅選擇30只成分股，使跟蹤誤差最小化。不同的股票選擇方法會產(chǎn)生不同的選取結(jié)果，從而產(chǎn)生不同的跟蹤效果。本文發(fā)現(xiàn)，選擇權(quán)重最大的30只股票和Lasso方法選擇30只股票產(chǎn)生的跟蹤誤差均大于本文中統(tǒng)計方法選擇的結(jié)果。

1.2 基于自適應(yīng)Lasso方法的資產(chǎn)選擇

非負自適應(yīng)Lasso的系數(shù)估計為：

自適應(yīng)Lasso模型是在Lasso算法的基礎(chǔ)上改進而成，其系數(shù)估計由回歸擬合的優(yōu)良性和懲罰兩部分構(gòu)成。其中，懲罰項通過把較小的系數(shù)向0完全收縮達到剔除對應(yīng)協(xié)變量的效果。自適應(yīng)Lasso方法的一個突出優(yōu)點是，通過調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)，使得不同參數(shù)相應(yīng)的懲罰不同，初始估計取倒數(shù)使得初始參數(shù)估計值較大的變量對應(yīng)較小的權(quán)重系數(shù)和較小的懲罰，初始估計值較小的變量對應(yīng)較大的權(quán)重系數(shù)和較大的懲罰。當某個自變量的初始估計值較大時，該自變量在自適應(yīng)Lasso中權(quán)重系數(shù)就較小，即對應(yīng)的懲罰就小，這樣就保證了其以較高概率進入模型，即更容易被選擇。

1.3 自適應(yīng)Lasso估計算法

許多為Lasso設(shè)計的成熟算法，如最小角回歸算法lars和glmnet，適當修改之后可以用來解決自適應(yīng)Lasso的問題，但其算法并不簡單。考慮到自適應(yīng)Lasso實質(zhì)是二次規(guī)劃問題，且在本文的實際情況中有非負約束條件，為了計算的快速與簡單，本文運用類似梯度下降法的迭代算法——乘性更新。該方法主要用來解決具有非負約束條件的二次規(guī)劃問題[11]：

其中，υ=(υ1，...，υn)′為 n 維列向量，υ′是 υ的轉(zhuǎn)置，A∈Rn×n是對稱正定矩陣。乘性更新是一種特殊的迭代算法，設(shè)：

當給定一個非負調(diào)節(jié)參數(shù)λn時，非負自適應(yīng)Lasso是以下二次規(guī)劃問題的解：

迭代算法中相應(yīng)參數(shù)改變?yōu)椋篴i=((X′X)+β)i，ci=((X′X)-β)i，bi=(λnW-X′y)i，然后就可以用非負自適應(yīng)Lasso估計出β。迭代過程中涉及一個調(diào)節(jié)參數(shù)λn，利用類似對分法的方式選擇λn：分別選取較大的λn和較小的λn估計參數(shù)；然后調(diào)節(jié)λn使得選出的成分股恰好為30只[12]。

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取和模型說明

本文使用的數(shù)據(jù)集包括深滬300指數(shù)的股票價格和深滬300指數(shù)的300只成分股的股票價格。樣本的時間區(qū)間分為兩部分：2011年1月1日至2012年12月31日和2015年1月1日至2015年12月31日。其中，2015年數(shù)據(jù)用于第一部分模型擬合與預(yù)測，2011—2012年數(shù)據(jù)用于指數(shù)跟蹤效果分析。深滬300成份股每年調(diào)整兩次，但成分的變化基本不大，所以本文以收集數(shù)據(jù)截止日期的成份股為準，進入成份股之前的收益率視為零，被剔除的成份股將不再計入數(shù)據(jù)。

對于股票價格Pt，定義日收益率為t=1，...，T。協(xié)變量 xi，t=ri，t，i=1，...，300 表示第 i支成分股的收益率，yt=r0，t表示深滬300指數(shù)收益率，則模型表示為：

其中，βi是第i個成分股的權(quán)重，εt是隨機誤差項。本文的目的就是應(yīng)用非負自適應(yīng)Lasso統(tǒng)計模型來估計系數(shù)β。

指數(shù)跟蹤效果分析中，部分吸收的偏差用跟蹤誤差（TE）來度量，定義為：

其中，mean(err)是 errt的均值，t=1，...，T ，errt=yt-是 yt的擬合值或者預(yù)測值。

2.2 模型擬合和預(yù)測結(jié)果分析

選擇2015年的數(shù)據(jù)進行擬合和預(yù)測。1月至10月的數(shù)據(jù)進行模型擬合及系數(shù)估計，11月和12月數(shù)據(jù)進行預(yù)測。通過R程序，自適應(yīng)Lasso方法選擇出的30只成份股，估計出的股票權(quán)重系數(shù)如表1所示，擬合及預(yù)測曲線如圖1和圖2所示。

表1 自適應(yīng)Lasso方法選股權(quán)重

圖1 1月至10月數(shù)據(jù)擬合曲線

圖2 11月和12月數(shù)據(jù)預(yù)測曲線

表1結(jié)果顯示，本文提出的自適應(yīng)Lasso算法選擇出的30只股票跟蹤組合中，有3只股票的權(quán)重占到6%以上，有3只股票的權(quán)重達不到1%，有24只股票的權(quán)重均在1%～6%之間，與Lasso選擇方法的結(jié)果相比較，該方法的權(quán)重分布更為均勻[6]。權(quán)重系數(shù)分布的趨勢越集中，越不利于指數(shù)跟蹤，受大權(quán)重股的影響跟蹤效果變差，從這個角度分析，自適應(yīng)Lasso方法較優(yōu)。

表1中選擇出的30只成分股擬合曲線如圖1所示，圖中空心圓形為深滬300股票的日收益率實際值，實心圓形為預(yù)測值。虛線和實線曲線的走勢相同，偏離程度較小，除拐點外，兩條曲線在一定程度上幾乎重合，說明該時間段內(nèi)目標指數(shù)的跟蹤效果良好。

圖2（a）中，曲線為自適應(yīng)Lasso選擇變量并同時預(yù)測參數(shù)的擬合結(jié)果；圖2（b）中，右邊曲線為自適應(yīng)Lasso選擇變量之后進行非負線性回歸的擬合結(jié)果，兩條曲線幾乎重合。圖2中結(jié)果對比顯示，第二種方法的性能明顯優(yōu)化。在今后的其他模擬實驗中，不妨用二階段方法來進行系數(shù)估計，即變量選擇和系數(shù)估計分兩部分進行，其模型性能會有所提高。

2.3 跟蹤效果分析

選取2011—2012年的數(shù)據(jù)對自適應(yīng)Lasso的變量選擇方法在指數(shù)跟蹤方面的應(yīng)用效果進行詳細分析。本文用一個時間窗口劃分數(shù)據(jù)集：前六個月的數(shù)據(jù)用于建模，隨后一個月的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，則共有18個擬合樣本，18個預(yù)測樣本。由表1中選股結(jié)果可以看出，基于自適應(yīng)Lasso方法選出的股票并不是對指數(shù)具有很大貢獻的超大盤股，這并不符合傳統(tǒng)認識。以Lasso選股方法，自適應(yīng)Lasso選股結(jié)果與具有代表性的大權(quán)重股票組合基于跟蹤誤差進行對比分析，分別計算擬合跟蹤誤差和預(yù)測跟蹤誤差，其中前6個樣本（2011年）的指數(shù)跟蹤結(jié)果如表2所示。

表2 2011年數(shù)據(jù)跟蹤效果分析，擬合和預(yù)測跟蹤誤差（TE）

通過表2可以看出，三種方法選擇出的30只股票組合跟蹤誤差均未超過2%，則意味著指數(shù)跟蹤差異并不顯著，指數(shù)跟蹤風(fēng)險小。綜合考慮上述三種方法，自適應(yīng)Lasso方法在指數(shù)跟蹤應(yīng)用中具有明顯優(yōu)勢。首先在權(quán)重系數(shù)方面，自適應(yīng)Lasso方法得到的權(quán)重系數(shù)分布均勻，并沒有明顯的集中趨勢，這使得在實際操作中可以有效規(guī)避非系統(tǒng)性風(fēng)險。其次在跟蹤誤差方面，其數(shù)值都在0.6%以內(nèi)，跟蹤效果較好。

3 結(jié)論

本文通過變量選擇的基本觀點對股票選擇進行了一些探討，介紹了非負自適應(yīng)Lasso選股方法在指數(shù)跟蹤實際應(yīng)用中的優(yōu)點，即保留Lasso算法的稀疏性從而達到選擇股票的目的，同時使組合中產(chǎn)生非空頭寸，減小模型的不穩(wěn)定性和跟誤差，對交易費用的懲罰更加合理。實證結(jié)果表明:（1）自適應(yīng)Lasso方法在股票選擇應(yīng)用方面具有很好的效果。（2）自適應(yīng)Lasso方法得出的權(quán)重分布相對均勻。（3）金融角度的觀點認為，小規(guī)模證券由于數(shù)據(jù)相對缺乏，不能有效地跟蹤模擬指數(shù)的走勢。但本文自適應(yīng)Lasso算法構(gòu)建的30只股票中，系數(shù)的權(quán)重分布相對均勻，且考慮到交易費用低。所以對于小型投資者來說，在證券市場穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，該選股方法值得一試。

本文關(guān)于指數(shù)跟蹤問題的些研究還存在以下不足：（1）自適應(yīng)Lasso方法得出的成分股權(quán)重系數(shù)之和不為1，不滿足指數(shù)跟蹤問題的實際要求。可以應(yīng)用歸一化方法（各股權(quán)重除以成分股權(quán)重之和）來進行調(diào)整，但這種方法并沒有金融角度的理論支持。（2）指數(shù)跟蹤的最終目的是將研究的方法應(yīng)用到金融方向的實際問題中，但本文只做了初步的理論研究，并沒有展開實際操作。后續(xù)工作可以將其選股方法應(yīng)用于更現(xiàn)實的實際問題中。

對于金融系統(tǒng)的其他應(yīng)用，可以試著將本文中的變量選擇方法應(yīng)用于金融風(fēng)控的信用評估階段，構(gòu)建評分卡模型，改變傳統(tǒng)方法中的變量選擇過程，盡量解決平臺間數(shù)據(jù)稀疏的問題。自適應(yīng)Lasso不僅在實踐上具有較好的實用性，在理論上也具有優(yōu)良的性質(zhì),相信它會在未來的金融領(lǐng)域中發(fā)揮更大的作用。