三角函數的圖象和性質高考考點題型歸類解析

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

三角函數是高中數學的重要知識，也是高考重點考查的內容之一，而三角函數的圖象和性質是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，多數是中低檔題. 縱觀近幾年的高考題，發現其考點題型有以下幾個方面，供參考.

一、最值或值域

點評本題考查了三角函數的基本關系、二次函數在閉區間上的最值問題、三角函數的性質，考查了轉化的數學思想、數形結合的數學思想.解本題的關鍵是把原解析式化為關于cosx的二次函數的形式，然后用配方法求解.有些題需把原解析式變形為y=Asin(ωx+φ)的形式后求最值或值域.多數情況下需要用配方法或三角函數的有界性來求最值或值域.

二、三角函數的奇偶性

點評本題考查了三角函數圖象的平移、三角函數的奇偶性.解答本題的關鍵是圖象平移時函數解析式的變化以及根據奇偶性列出關于π的方程.

三、三角函數的周期性

四、三角函數的單調性

圖1

例4 (2015全國，文8理8) 函數f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖1所示，則f(x)的單調遞減區間為

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點評本題考查了三角函數的圖象、三角函數的單調性. 解答本題的關鍵是根據函數的圖象求出函數的最小正周期，難點是求φ的值，代入點求φ的值時，最好取三角函數圖象的最低點或最高點.

五、三角函數的對稱性

點評本題考查了定積分的幾何意義、三角函數圖象的對稱性.解答本題的關鍵是利用定積分的幾何意義及三角函數的圖象，根據面積為0，得到x軸上方和下方的面積相等，從而找到三角函數的零點.若利用定積分的計算公式去求參數φ的值，運算量會相當大.

六、依圖寫式

圖2

( )

點評本題考查了三角函數的圖象應用.已知三角函數的圖象確定其解析式f(x)=Asin(ωx+φ)，常用方法就是待定系數法，先由圖象中的最高點和最低點坐標確定A；再根據圖象中所透露的函數的周期確定ω的值，最后根據圖象中點的坐標求解φ的值.

七、依式選圖

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點評本題考查了三角函數圖象性質.識別函數圖象除利用函數的性質進行判斷外，簡單易行的辦法就是用排除法，利用函數的定義域及圖象上的坐標進行排除，特別是函數值的符號.

八、圖象變換

點評本題考查了三角函數圖象變換.對于三角函數圖象變換問題，首先要利用誘導公式將不同名函數轉換成同名函數;在進行圖象變換時，一般先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中經常出現，無論哪種變換，都是針對自變量x而言.

九、綜合應用

(1)若a∥b，求x的值；

(2)記f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值．

分析(1)利用向量共線的坐標運算法則求解.(2) 利用數量積的坐標運算、輔助角公式，結合三角函數圖象求解.

點評本題主要考查了平面向量共線的坐標表示、平面向量數量積的坐標運算、同角三角函數關系、兩角和(差)的三角函數、三角函數圖象與性質. 解答本題的關鍵是熟練應用：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0.