立體幾何復(fù)習(xí)和解題策略

鄭加金

(福建省莆田市仙游縣華僑中學(xué) 351200)

立體幾何問題是高考的必考點(diǎn)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)的立體幾何對(duì)核心素養(yǎng)的考查是很全面的，既有很強(qiáng)的抽象能力、邏輯推理能力又有數(shù)學(xué)建模、直觀想象和運(yùn)算分析能力.立體幾何一直讓很多學(xué)生覺得不好學(xué).在復(fù)習(xí)中如何讓復(fù)雜和枯燥的幾何圖形變得形象生動(dòng)，讓學(xué)生打開空間思維想象能力，在具體的解決問題中能游刃有余、靈活變通.在立體幾何專題復(fù)習(xí)中，整理了部分立體幾何題型，總結(jié)出一些解題策略.

一、熟悉文化、拉近距離

透過(guò)傳統(tǒng)文化的殼，看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生熟悉，消除恐懼感，陌生感，冷靜分析.

例題1 《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為( ).

A．8π B．12π

C．20π D．24π

例題2 中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有羨除”．劉徽注：“羨除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示，四邊形ABCD，ABFE，CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB=6，CD=8，EF=10，EF到平面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個(gè)羨除的體積是( ).

A．110 B．116 C．118 D．120

二、立體幾何解答題建模、建系策略

立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深.解決這類題目的原則是建模、建系.建模——將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計(jì)算模型；建系——依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

例題3 如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=PB，O為AB的中點(diǎn)，OD⊥PC.

(1)求證：OC⊥PD；

(2)若PD與平面PAB所成的角為30°，求二面角D-PC-B的余弦值．

解(1)證明：連接OP，∵PA=PB，O為AB的中點(diǎn)，∴OP⊥AB.∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，

∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC.

∵OD⊥PC，OP∩PC=P，

∴OD⊥平面OPC，

∴OD⊥OC，又OP⊥OC，OP∩OD=O，

∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD.

(2)取CD的中點(diǎn)E，以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OB，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.在矩形ABCD中，由(1)知OD⊥OC，∴AB=2AD，不妨設(shè)AD=1，則AB=2.

總之，立體幾何解題的過(guò)程中常帶有明顯的規(guī)律性.只有不斷總結(jié),才能不斷提高，專題復(fù)習(xí)課后要配套對(duì)應(yīng)的練習(xí)，即講即練，夯實(shí)到位，選取與課堂講授內(nèi)容相配套的題目，考查學(xué)生是否全面掌握.要強(qiáng)調(diào)立體幾何解題書寫的規(guī)范和要求，并參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)解題格式的完整性.