向量問題中的最值學習札記

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

一、從建立平面直角坐標系入手

因為向量可以用坐標表示，所以通過建立平面直角坐標系，把向量轉化為坐標，就把向量問題轉化為代數或三角問題，接下來的工作就是去解決代數或三角問題.

1.從建立平面直角坐標系入手，把問題轉化為三角函數最值問題

評注(1)建立平面直角坐標系，將點A，B，C，D，P的坐標表示出來是快速解決此題的關鍵.(2)以點A或點B或點D為原點建立平面直角坐標系的計算量比以點C為原點建立平面直角坐標系的計算量稍大一些.(3)由上述解法知，λ+μ有最小值1.

2.從建立平面直角坐標系入手，把問題轉化為二元函數最值問題

評注對于平面向量中涉及求數量積的最值(取值范圍)問題，建立平面直角坐標系，可使問題變得簡單.

二、從向量的基本定義入手

從向量的基本定義、基本運算法則、基本公式、線性運算、坐標運算及向量的幾何意義入手，把向量問題轉化為代數或三角函數問題.

1.從向量的基本定義入手，利用向量絕對值三角不等式及基本不等式解決問題

例3 (2017年高考浙江卷·文15理15)已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是 ，最大值是 .

解析∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2，且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4，∴|a+b|+|a-b|≥4，當且僅當a+b與a-b反向時取等號，此時|a+b|+|a-b|取最小值4.

當且僅當|a+b|=|a-b|時取等號，此時a·b=0.

2.從向量的基本運算入手，把問題轉化為函數最值問題

例4 上述例3.

解析設b=(2，0)，a=(x，y)，則x2+y2=1.

∵ 0≤x2≤1，

當x2=1，即a∥b時，|a+b|+|a-b|有最小值4.

評注設a=(cosθ，sinθ)也可以.

3.從向量的坐標形式入手，把問題轉化為函數的最值問題

三、從圖形入手，通過圖形的直觀判斷解決最值問題

向量是溝通代數與幾何的重要工具，它集數與形于一身，既有代數的抽象性，又有幾何的直觀性，因而向量是幾何研究的一個有力工具.恰當地將抽象的向量語言轉化為圖形語言，通過圖形的直觀性去觀察、分析，就可以尋找到解決問題的突破口，這種方法稱為圖解法，這種思路是破解向量背景下最值問題的一種有效途徑.

例6 (2010年高考浙江卷·理16)已知平面向量α、β(α≠0，α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的最大值是 .

評注(1)向量是既有大小又有方向的量，具有代數和幾何的雙重身份.本題由β-α聯想到向量減法的幾何意義，恰當地將條件轉化為圖形語言，將向量問題轉化為三角問題，借助解三角形的方法來處理，有效地建立了向量與三角的聯系，使問題變得清晰明了.(2)此題解法較多(參見文[3])，筆者認為上述解法直觀、簡捷，容易被學生接受，值得我們一線教師重視.

又由〈a-c，b-c〉=60°，知∠ACB=60°.

因此∠AOB與∠ACB互補，所以O、A、C、B四點共圓，根據圖形可得當OC為該圓的直徑時，則|c|為最大.

此時，∠OAC=∠OBC=90°，又OA=OB=1，所以Rt△OAC≌Rt△OBC，得∠AOC=∠BOC=60°.

故選A.

評注(1)該題的“原型”是2008年高考浙江卷理科第9題：已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是( ).

將兩者進行比較，發現除了角度的設置不一樣，其余幾乎一致.這也提醒我們要多研究高考題，從高考題的求解中去總結思想方法，方能以不變應萬變，進而提高自己的解題能力.(2)此題被考生公認為當年高考難題，難倒了許多考生.究其原因，是沒有想到要從圖形角度思考，或者作出符合題意的圖形后，沒有想到四點共圓.此題可以說確實難，如果沒有想到上述解法，用其它方法很難求解，甚至解不出來.