常數列在等比數列求和中的應用與推廣

趙圣濤

(山東省淄博市淄博中學 255000)

一、方法的提出——等比數列求和公式的推導

已知數列an是首項為a1，公比為q(q≠0)的等比數列，求該數列的前n項和Sn.

解(1)當q=1時，易知Sn=na1.

綜上，由(1),(2)可知，等比數列前n項和的公式為

因為an=a1qn-1，所以上面的公式也可寫成

因上述推導過程中的關鍵是如何構造常數列，所以本文將該方法稱之為構造常數列法，該方法的特點是思路簡潔，沒有繁瑣的運算，易于理解.

二、方法的推廣

1. 問題提出

在數列求和的教學中，經常遇到如下題型：

已知數列an滿足an=bncn，其中bn是公差不為0的等差數列，cn是公比不為1的等比數列，求數列an的前n項和Sn.

對上述數列an，結合自身特點，通常稱其為等差乘等比型數列. 既然構造常數列法能在等比數列求和中應用，那么能否將該方法推廣到等差乘等比型數列求和中去呢？經研究，這是切實可行的.

2. 問題解決

不失一般性，設等差乘等比型數列an的通項公式為an=(kn+d)qn(k≠1且k≠0，q≠0且q≠1)，求數列數列an的前n項和Sn.

該方法思路清晰，運算量小，運算技巧遠低于錯位相減法和文[1]中所介紹的方法，有較強的實用性和可操作性. 同時該方法和常數列緊密地聯系在了一起，進一步深化了人們對常數列的認識與理解.

三、方法應用