導數在高中數學中的應用

鄭柳蓉

(廣東省河源市廣州大學附屬東江中學 517000)

導數概念是近代數學的重要基礎，是聯系初、高等數學的紐帶.導數為解決中學數學問題提供了全新的視野,也是研究曲線的斜率問題、函數的性質和函數的極值最值等問題提供了強有力的工具.為方便起見，約定本文涉及的都是可導函數.下面將對導數在切線問題、函數的單調性和求函數的極值最值問題的應用進行探討.

我們知道，一階導的代數意義就是函數的變化率.一階導有明顯的幾何意義，就是曲線的斜率.而切線是導數的“幾何形象”,也是函數單調性的“幾何”解釋，導數的概念運用了“數形結合，以直代曲”的思想方法，建立了代數與幾何的橋梁，在高考數學中經常涉及，簡而言之，導數起源于切線，曲切聯系需熟練.

例1 (2016全國卷Ⅲ，16)已知fx為偶函數，當x≤0 時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=fx在點(1,2)處的切線方程是____.

事實上，只要會求導，就可以求出函數在切點處的切線問題，也可f(x)以解決比較簡單的函數過某點的切線問題.

若函數f(x)在某區間內單調遞增，則f′(x)≥0在該區間內恒成立； 在某區間內單調遞減，則f′(x)≤0在該區間內恒成立.也就是說若導函數圖象與x軸的交點為x0，且圖象在x0兩側附近連續分布于x軸上下方，則x0為原函數極值點，運用導數知識來討論函數單調性時，由導函數f′(x)的正負，得出原函數f(x)的單調區間．歸根結底，我們可以將單調性問題轉化為不等式問題.

例2 (2017全國卷Ⅰ，21)已知函數fx=ae2x+a-2ex-x．

(1)討論f(x)單調性；(2)略.

分析(1)討論f(x)單調性，首先進行求導，發現式子特點后要及時進行因式分解，再對a按a≤0，a>0進行討論，寫出單調區間.

解(1)f(x)的定義域為(-,+)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(-,+)單調遞減.

②若a>0，則由f′(x)=0得x=-lna.當x∈(-,-lna)時，f′(x)<0；當x∈(-lna,+)時，f′(x)>0，f(x)在(-,-lna)單調遞減，在(-lna,+)單調遞增.

接下來我們討論極值問題.設函數f(x)在點x0附近有定義，且若對x0附近的所有的點都有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數的一個極大(或小)值，x0為極大(或極小)值點.即極值點一定在曲線的波峰或者波谷處.

由極值的定義，可以得到求極值的一般步驟：第一步：求導數f′(x)；第二步：解方程f′(x)=0；第三步：考察在每個根x0附近，從左到右，導數f′(x)的符號如何變化，若f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值；若f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值；即極值點的兩導數值一定正負出現.若f′(x)的符號不變，則f(x0)不是極值，x0不是極值點.

例3 (2017全國卷Ⅱ，20)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2

分析結合(1)的結論構造函數φx=2x-2-lnx，結合導函數的單調性和原函數即可證得.

如果會求函數f(x)在閉區間[a,b]上的極值，那么求函數f(x)在閉區間[a,b]上的最值就水到渠成了．只要比較f(x)的極值與區間端點函數值f(a)、f(b)的大小就可以了，最大的就是最大值，最小的為最小值.特別地，若函數f(x)沒有極值點，則函數f(x)是單調函數，區間端點函數值f(a)、f(b)最大的就是最大值，最小的為最小值.若函數f(x)只有一個極值點，則這個極值點一定是最值點.

例4 (2017北京卷，20)已知函數f(x)=excosx-x.

解(3)因為f(x)=excosx-x,所以f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,f′(0)=0.設h(x)=ex(cosx-sinx)-1，則h′(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.

在解決導數的應用問題的時，一定要注意尋找關鍵的等價變形，充分應用數形結合思想．導數作為初等數學與高等數學的重要銜接點之一，不僅有著廣泛的應用，也為學生進入大學學習高等數學奠定基礎，這必定使導數的應用成為熱點也是亮點．