轉(zhuǎn)化思想證垂直

趙佳琪

(河北省唐山市樂(lè)亭縣第一中學(xué)高二三班 063600)

空間垂直關(guān)系有線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直，三者關(guān)系密切，可互相轉(zhuǎn)化，在證明空間垂直時(shí)可謂三位一體．

一、證明線(xiàn)線(xiàn)垂直

空間中證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，大都利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)：如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)．但利用的前提是需有線(xiàn)面垂直.

例1 如圖1，在空間四邊形PABC中，PA⊥底面ABC，側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC．

求證：AB⊥BC．

圖1

分析我們可先證明AB(或BC)垂直于BC(或AB)所在的一個(gè)平面，即可證明AB⊥BC了．

證明過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PB于點(diǎn)D.

因?yàn)閭?cè)面PAB⊥側(cè)面PBC，

且側(cè)面PAB∩側(cè)面PBC=PB，

所以AD⊥平面PBC.

又因?yàn)锽C?平面PBC，

所以BC⊥AD.

因?yàn)镻A⊥底面ABC，BC?平面ABC，

所以BC⊥PA.

因?yàn)锳D?平面PAB，PA?平面PAB，AD∩PA=A，

所以BC⊥平面PAB.

因?yàn)锳B?平面PAB，

所以AB⊥BC．

點(diǎn)評(píng)本題的轉(zhuǎn)化過(guò)程為：面面垂直→線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)垂直→線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)垂直，總的趨勢(shì)是由高維向低維轉(zhuǎn)化，其間應(yīng)用了面面垂直的性質(zhì)定理，線(xiàn)面垂直的判定定理及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理．

二、證明線(xiàn)面垂直

空間中證明線(xiàn)面垂直，常用的方法有兩種：一是應(yīng)用線(xiàn)面垂直的判定定理，一是應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理．

例2 如圖2，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過(guò)點(diǎn)A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于點(diǎn)M，AN⊥PC于點(diǎn)N，求證：PB⊥平面AMN．

圖2

分析欲證PB⊥平面AMN，因?yàn)锳M⊥PB，所以只需在平面AMN中再找一條和PB垂直的直線(xiàn)即可，考慮和AN有關(guān)的垂直關(guān)系較多，我們選定AN為論證目標(biāo)．

證明因?yàn)镽t△ABC的斜邊為AB，

所以BC⊥AC.

因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以BC⊥PA.

打仗要勇敢，搞學(xué)術(shù)研究為什么還要膽識(shí)呢？似乎兩者關(guān)系不大，最近有記者問(wèn)我，說(shuō)閻老師你認(rèn)為做一個(gè)研究員最重要的品格是什么呢？我的回答是兩個(gè)字“勇敢”。

因?yàn)镻A?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PA=A.

所以BC⊥平面PAC.

因?yàn)锽C?平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC.

因?yàn)锳N?平面PAC，

平面PAC∩平面PBC=PC，AN⊥PC，

因?yàn)镻B?平面PBC，

所以AN⊥PB.因?yàn)锳M⊥PB，AM?平面AMN，

AN?平面AMN，AM∩AN=A，

所以PB⊥平面AMN．

點(diǎn)評(píng)本題的轉(zhuǎn)化過(guò)程為：線(xiàn)線(xiàn)垂直→線(xiàn)面垂直→

面面垂直→線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)垂直→線(xiàn)面垂直．

三、證明面面垂直

證明面面垂直離不開(kāi)線(xiàn)線(xiàn)垂直和線(xiàn)面垂直．

例3 如圖3，已知直角梯形ABCD中AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD．證明：面PAD⊥面PCD．

圖3

分析根據(jù)題目條件可考慮利用面面垂直的判定定理證明．

證明因?yàn)镻A⊥面ABCD，CD?面ABCD，所以CD⊥PA.

因?yàn)椤螪AB=90°，AB∥DC，

所以CD⊥AD.

因?yàn)镻A?面PDA，AD?

面PDA，PA∩AD=A，

所以CD⊥面PAD.CD?面PCD，

所以面PAD⊥面PCD．

點(diǎn)評(píng)本題的轉(zhuǎn)化過(guò)程為：線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)垂直→線(xiàn)面垂直→面面垂直．

立體幾何中最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，由本文我們可發(fā)現(xiàn)，證明垂直關(guān)系的過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是空間三種垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程，轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是空間垂直的判定定理和性質(zhì)定理，所以對(duì)這些定理我們一定要注意熟練掌握、靈活運(yùn)用．