應用圓的向量方程求向量模的最值

陳淑紅 趙欣欣

(河北省定州中學 073000)

向量既有代數特征，又有幾何意義，求向量模的最值問題往往需要公式分析出代數式的幾何意義，利用幾何圖形求解.

預備公式1：已知平面向量a,b,如果向量c滿足c-a=b，則向量c終點的軌跡是以a的終點為圓心,b為半徑的圓.

預備公式2：如果非零向量a,b垂直，則a+b=a-b.

一、直接利用圓的向量方程求最值

例1 已知a,b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若c滿足(a-c)·(b-c)=0，則c的最大值是( ).

解因為(a-c)·(b-c)=0，所以(a-c)⊥(b-c).

由公式2得a-c+b-c=a-c-b+c,

即2c-a-b=a-b.

變式設a,b為單位向量，若向量c滿足c-(a+b)=a-b,則c的最大值是( ).

解因為c-(a+b)=a-b,

則向量c終點的軌跡為以向量(a+b)的終點為圓心,以a-b為半徑的圓,

另解可利用絕對值三角不等式得:

a-b=c-(a+b)≥c-a+b

所以c≤a-b+a+b.

二、構造圓求解最值

變式設向量a、b、c滿足，a=b=1,〈a-c,b-c〉=60°,則c的最大值是( ).

則cmax=OM+r.

設向量a與b夾角為θ

利用圓向量方程求解棱的最值問題，是利用向量表達式的幾何意義畫出相應圓的圖形，轉化為最值.這種方法是通法，簡單易懂，能讓學生更好的了解向量的本質.