借助工具 有效化解定點(diǎn)動(dòng)圓問(wèn)題建模困難

林曉坤

摘要：定點(diǎn)動(dòng)圓因涉及多物體多對(duì)象的過(guò)程分析，較為困難。通過(guò)運(yùn)用工具，有效化解建模困難。

關(guān)鍵詞：定點(diǎn)動(dòng)圓；建模；工具

帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是歷年高考的高頻考點(diǎn)。若發(fā)射點(diǎn)的位置不變，帶電粒子的速率相同而方向不同，研究這種情況下帶電粒子運(yùn)動(dòng)情況的問(wèn)題就稱(chēng)為定點(diǎn)動(dòng)圓問(wèn)題。自2005年全國(guó)高考理綜卷中出現(xiàn)后，其相關(guān)題型在各地各類(lèi)檢測(cè)卷中時(shí)有出現(xiàn)。本文通過(guò)分析此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，研究其對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)意義，并通過(guò)制作工具，解決學(xué)生在建模上的困難。

一、定點(diǎn)動(dòng)圓的分析過(guò)程及其的特點(diǎn)

在解題的過(guò)程中，學(xué)生普遍感覺(jué)建立運(yùn)動(dòng)情景比較困難，特別是帶電粒子在磁場(chǎng)中的軌跡圓的運(yùn)動(dòng)尤其困難。這主要是因?yàn)樵谶@類(lèi)題的解題過(guò)程中，需要經(jīng)歷以下思維過(guò)程：

（1） 尺規(guī)作圖，做出軌跡圓。如圖1

（2）隨著初速度方向變化，畫(huà)出各自對(duì)應(yīng)的軌跡圓，體會(huì)軌跡圓的運(yùn)動(dòng)。如圖2

（3）當(dāng)軌跡圓轉(zhuǎn)動(dòng)至與邊界相切時(shí)，帶電粒子或離開(kāi)磁場(chǎng)、或被吸收，無(wú)法完成軌跡圓的后續(xù)路徑。

該分析過(guò)程具有以下特點(diǎn)：①步驟多，邏輯鏈條長(zhǎng)，對(duì)作圖有較高要求；②臨界情況是圓弧和直線(xiàn)相切的關(guān)系，不是直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，不直觀(guān)；③未到達(dá)臨界條件前，以軌跡圓為對(duì)象進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)；越過(guò)臨界條件后，只能以部分圓弧為對(duì)象討論交點(diǎn)的移動(dòng)④需要把握切線(xiàn)、垂線(xiàn)、軌跡圓圓心、軌跡圓與邊界條件的交點(diǎn)等多個(gè)對(duì)象，這些對(duì)象同時(shí)變化又相互制約。因此對(duì)思維素質(zhì)的要求較高。

若對(duì)軌跡圓轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程關(guān)注不足，不知道軌跡圓的臨界條件，不知道運(yùn)動(dòng)過(guò)程的全貌，學(xué)生甚至無(wú)法展開(kāi)計(jì)算。因此，不能只畫(huà)簡(jiǎn)單草圖，而應(yīng)舍得投入時(shí)間，用尺規(guī)作圖畫(huà)出多個(gè)規(guī)范的軌跡圓，由圖像的變化中感知包絡(luò)圓的存在以及多對(duì)象同時(shí)變化又相互制約的特點(diǎn)。

二、制作工具，形象展示，快速建模

如果對(duì)每道定點(diǎn)動(dòng)圓的問(wèn)題都采用畫(huà)多個(gè)軌跡圓的方法來(lái)處理，耗時(shí)較多。為提高解題速度，可以采用下列方法對(duì)軌跡圓的轉(zhuǎn)動(dòng)及軌跡圓與邊界的交點(diǎn)的移動(dòng)進(jìn)行直觀(guān)展示，建立運(yùn)動(dòng)情景。

方法一：使用教學(xué)軟件展示軌跡圓的轉(zhuǎn)動(dòng)及軌跡圓與邊界的交點(diǎn)的移動(dòng)。

Powerpoint、Flash、幾何畫(huà)板等很多軟件都可以演示動(dòng)態(tài)變化。圖3是使用“幾何畫(huà)板”軟件，對(duì)高考原題中帶電粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)建模。

雖然課件的制作對(duì)教師的信息技術(shù)能力要求較高，但教師可以通過(guò)學(xué)習(xí)獲得相應(yīng)技能。特別在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的環(huán)境下，還可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)付費(fèi)定制獲得。

方法二：活用常見(jiàn)工具，對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程大致展示

教師在黑板上演示時(shí)，可以用廢棄光盤(pán)、桶蓋等圓盤(pán)代表軌跡圓。在圓盤(pán)上標(biāo)出圓心和直徑，以圓盤(pán)邊緣某點(diǎn)代表粒子的發(fā)射點(diǎn)，捏著圓盤(pán)圍繞該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，以此展示軌跡圓的轉(zhuǎn)動(dòng)及軌跡圓與邊界的交點(diǎn)的移動(dòng)。也可以用金屬線(xiàn)繞制一個(gè)圓環(huán)，手捏結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。學(xué)生在做題時(shí)，則可以用鑰匙扣等圓環(huán)的邊緣來(lái)繪制軌跡圓。

要注意的是，教師在用圓盤(pán)演示時(shí)，若采用透明物質(zhì)，后排學(xué)生的觀(guān)察效果可能較差；若采用不透明物質(zhì)，對(duì)板書(shū)線(xiàn)條會(huì)遮蓋。此外，要對(duì)圓盤(pán)進(jìn)行加工，在圓心處鉆孔，在各臨界狀態(tài)標(biāo)記圓心的位置，為后續(xù)的幾何計(jì)算提供方便。學(xué)生在使用圓環(huán)時(shí)，要注意標(biāo)記點(diǎn)不要移動(dòng)。此外，使用這種方法，直徑和圓心位置不易標(biāo)記。

方法三：制作簡(jiǎn)單文具，對(duì)變化過(guò)程精確展示

1、材料的準(zhǔn)備：有機(jī)玻璃等透明平板一塊，刻刀一把，鉆孔工具，記號(hào)筆等

2、制作過(guò)程：

（1）制作一個(gè)邊長(zhǎng)為3～4厘米的正方形小片。

（2）做對(duì)角線(xiàn)，取中心點(diǎn)。以中心點(diǎn)為圓心，做一個(gè)半徑約1厘米的圓。與對(duì)角線(xiàn)相交。過(guò)交點(diǎn)分別做圓的切線(xiàn)。

（3）在圓心和兩交點(diǎn)處鉆孔。用記號(hào)筆對(duì)各線(xiàn)條著色。

制作的實(shí)物如圖4。本人稱(chēng)之為“動(dòng)圓片”。

3、使用方法：

（1）將筆插入某一交點(diǎn)并固定，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)圓片，讓初速度方向與切線(xiàn)重合，得到初始狀態(tài)的軌跡圓。

（2）保持筆不動(dòng)，輕推動(dòng)圓片，使其繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，得到

運(yùn)動(dòng)的軌跡圓。觀(guān)察軌跡圓的轉(zhuǎn)動(dòng)及軌跡圓與邊界的交點(diǎn)的移動(dòng)。

（3）在軌跡圓的各臨界狀態(tài)處按住小片，用筆標(biāo)出相應(yīng)的圓心及交點(diǎn)位置。

（4）拿走動(dòng)圓片，連接定點(diǎn)、圓心與交點(diǎn)，得到相應(yīng)線(xiàn)段。構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用數(shù)學(xué)技巧對(duì)試題展開(kāi)計(jì)算。

4、擴(kuò)展說(shuō)明：

（1）本工具若使用量較大，也可聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)商家進(jìn)行批量定制。

（2）本工具還可與學(xué)生常用的量角器有機(jī)結(jié)合。制作的實(shí)物如圖5。

結(jié)語(yǔ)

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“突出物理學(xué)科特點(diǎn)，發(fā)揮實(shí)驗(yàn)在物理教學(xué)中的重要作用。”物理學(xué)以數(shù)學(xué)為工具，對(duì)經(jīng)驗(yàn)世界通過(guò)建立模型進(jìn)行研究。不同的問(wèn)題應(yīng)通過(guò)不同的方法解決：對(duì)狀態(tài)的分析（如物體的受力）通過(guò)圖片靜態(tài)展示；對(duì)過(guò)程的分析（如波的傳播）通過(guò)動(dòng)畫(huà)或視頻動(dòng)態(tài)展示；對(duì)立體空間通過(guò)左手定則、安培定則等建模，對(duì)于變化的軌跡圓采用動(dòng)圓說(shuō)明也是應(yīng)有之意。通過(guò)提高單個(gè)軌跡圓的繪制效率從而提高整個(gè)問(wèn)題的解題效率，而非在數(shù)學(xué)的重復(fù)勞動(dòng)上消耗大量寶貴的時(shí)間和精力，工具的使用幫助研究者快速了解變化過(guò)程，完成建模工作，把更多的精力集中于各臨界狀態(tài)的分析，從而切實(shí)的提高物理的核心素養(yǎng)。