考慮黏性效應的爆破震動區的理論分析

李志文, 李建春, 洪勝男, 李海波, 張國凱,3

(1. 中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點試驗室， 武漢 430071；2. 中國科學院大學， 北京 100049； 3. 南京理工大學 機械工程學院， 南京 210094)

一般認為在炸藥在巖體爆炸過程中，在爆炸沖擊應力波和爆生氣體的聯合作用下，從炮孔壁往外依次形成粉碎區、破碎區和未開裂的震動區[1-2]，同時高幅值的沖擊波轉變為低幅值的地震波繼續向外傳播。爆破地震波在傳播過程中，由于波陣面的擴散和介質的吸收作用，其幅值和頻率都會發生一系列的變化，這種變化對地面建筑的安全存在重要影響，因此研究爆破地震波的產生和傳播規律具有現實意義。爆破地震波的產生和傳播的研究方法主要有現場試驗、數值模擬和理論分析等。如張永哲[3]通過現場實測數據，分析了爆破地震波的地表峰值強度的衰減規律，并給出質點速度和頻率隨爆源距離以及裝藥量的關系式。龍源等[4]分析大量爆破地震波測試數據，得出高頻率成分比低頻成分衰減更快，地形條件的改變對頻率影響較明顯等結論。Singh[5]通過對臨近露天爆破的地下煤礦進行振動監測，發現煤礦頂部的振幅大于立柱，且礦頂與立柱連接處的振幅更大。李重情等[6]通過現場試驗研究了混凝土中不同埋深的爆炸沖擊波的傳播規律，指出爆炸沖擊質點應力峰值隨裝藥比例埋深的增加以及混凝土強度的增加而增大。趙明生等[7]基于單孔爆破試驗，分析了段藥量對爆破振動信號時頻特性的影響，發現隨著段藥量的增加，爆破振動信號的低頻能量所占總能量的比例增加且爆破振動的持續時間延長。現場試驗方法的缺點是費用較高，且難以監測靠近爆源處的質點振動。而數值模擬具有成本低，可重復性強等優點，被廣泛用于爆破地震波傳播的研究的，如趙堅等[8]結合UDEC和AUTODYN-2D模擬節理巖體中爆炸波的傳播和節理對波傳播的影響，得出巖體中節理的存在使波衰減很快，且較低剛度的節理產生的較大衰減的結論。夏祥等[9]運用離散元方法模擬了節理巖體距爆源不同處質點的振動速度和頻率的變化特征，并確定了巖體質點最大振動速度和振動主頻隨爆源距離的衰減規律。李鵬等[10]和周俊汝等[11]分別采用LSYDNA程序模擬單孔裝藥下爆破地震波傳播，發現爆炸荷載及裝藥結構均會對爆破地震波主頻衰減規律造成影響。數值模擬對研究炸藥爆炸過程和復雜地質地形條件下的爆破地震波傳播具有很大優勢，但對于爆破地震波的產生和傳播缺乏機理性的解釋，對此解析方法具備天然優勢，如Li等[12-13]采用波傳播理論分析了硐室爆炸下的地表和鄰近硐室的響應，揭示了周圍結構的振動與應力波的傳播路徑及多次反射相關，并得出了地表和鄰近隧道PPV的分布規律，與數值模擬對比具有較好的一致性。考慮到巖體對爆破地震波能量的耗散，可把巖體視為黏彈性介質[14-15]。爆破地震波在震動區邊界上產生，在震動區內部傳播，可將爆破荷載等效地作用在震動區邊界上[16-17]。基于上述認識，本文將巖體考慮成Kelvin-Voigt介質，并在其內設置單個球形空腔，然后在球腔邊界均勻地施加三角形爆破荷載，最后采用傅里葉變換法從頻域求解該問題，得到質點位移和速度關于頻率的積分解。通過數值積分和參數分析，得到幾種爆破荷載參數和黏彈性介質力學參數對爆破地震波的產生和傳播的影響規律。

1 計算模型與求解

在無限Kelvin-Voigt介質中取半徑為a的球形空腔作為震動區邊界，從零初始時刻開始，在空腔壁均勻地施加爆破荷載，而后爆破地震波均勻地向四周傳播。取φ為標量位移勢，則符合波動方程[18]

(1)

式中：ρ為介質密度；λ和μ為彈性拉梅系數；λ′和μ′為黏性拉梅系數；在Kelvin-Voigt介質模型中，給定彈性模量E和黏性系數η以及泊松比ν，可以求出相應的彈性拉梅系數λ和μ，以及黏性拉梅系數λ′和μ′[19]

(2)

初始條件

(3)

邊界條件

σr(a,t)=-P(t)

(4)

式中：σr為徑向應力；P(t)為作用于空腔壁的三角形爆破荷載；三角形爆破荷載峰值為P0；上升時間為τ1；總持續時間為τ2，其數學形式如下

(5)

徑向應力和應變的關系和應變與徑向位移的關系分別為

(6)

θ=?ur/?r+2ur/r

(7)

εrr=?ur/?r

(8)

式中：θ為體應變；εrr為徑向應變；ur為徑向位移。

聯立式(4)、(6)、(7)和(8)得

(9)

再將徑向位移與標量位移勢的關系式：ur=?φ/?r,代入式(9)得

(10)

通過傅里葉正變換和逆變換把位移勢函數φ(r,t)與爆破荷載P(t)寫成傅里葉積分形式如下

(11a)

(11b)

(12a)

(12b)

將式(11a)代入式(1)中，并化簡得

(13)

將式(11a)與(12a)代入到式(10)，并化簡得

(14)

(15)

(16)

令φ(r)=eikr/r代入式(15)和(16)中，得

(17)

(18)

式中B(ω)=[(λ+2μ)+iω(λ′+2μ′)](-k2a2-2ika+2)+2(λ+iωλ′)(ika-1)

于是得標量位移勢函數的頻譜函數如下

(19)

再將式(19)代入式(11a)中得到位移勢函數

(20)

又因為ur=?φ/?r，于是得到徑向位移函數

(21)

由傅里葉變換的性質可知，式(21)的積分項中的實部是關于頻率的偶函數，虛部是關于頻率的奇函數，所以有

ur(r,t)=

(22)

式中：Re()表示取復數的實部。

令復波數k=kr+iβ，其中kr是實波數，β為吸收因子，由于爆破地震波向外傳播，所以kr必須小于零，而為滿足介質的吸收衰減作用，β必須大于零。于是解式(17)得

(23a)

(23b)

式中:τv為黏性系數和彈性模量比值，τv=η/E，cp為彈性介質中縱波波速，cp=(λ+2μ/ρ)1/2。

聯立式(5)和式(12b)求出爆破荷載的頻譜函數P(ω)

(24)

將式(23)和式(24)代入積分式(22)中，即得到該問題的積分形式的位移解。對式(22)求時間導數得到積分形式的速度解

vr(r,t)=

(25)

2 爆破地震波的產生及其影響因素

結合式(22)和式(24)可知，影響爆破地震波的產生的主要因素有黏彈性介質的力學參數：如彈性模量和黏性系數等，和爆破荷載參數：爆破荷載峰值、爆破荷載上升時間和爆破荷載總持續時間。爆破荷載峰值顯然是與爆破地震波幅值成正比的，其他因素對爆破地震波的影響將通過對式(22)和(25)進行數值積分和參數分析來說明。

2.1 爆破荷載上升時間和總持續時間

為確定爆破荷載上升時間對爆破地震波的產生的影響，數值積分中取介質的密度ρ=2.5×103kg/m3，彈性模量E=20 GPa，黏性系數η=0 MPa·s，泊松比v=0.3，球腔半徑a=2 m，爆破荷載峰值P0=50 MPa，爆破荷載總持續時間τ2=10 ms，爆破荷載上升時間分別為τ1=1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 ms。得到震動區邊界質點的位移和速度時程曲線，如圖1和圖2所示。

圖1 不同τ1下的震動區邊界質點位移Fig.1 Boundary particle displacement of vibrational zone under different τ1

由圖1和2可知，在相同爆破荷載峰值和總持續時間下，隨荷載上升時間增加，震動區邊界的位移和速度幅值減小。這是因為隨荷載上升時間增加，荷載達到峰值前爆破地震波傳播的距離變遠，導致介質中產生運動的質量增大，即介質抵抗運動的慣性增大造成的。位移和速度時程曲線的持續時間不隨荷載上升時間而改變，但相對于爆破荷載總持續時間τ2略有增加。這是因爆破荷載作用完成，介質中積蓄的彈性勢能使震動區邊界回彈所致，由圖2可看出，位移時程曲線在10～12 ms之間存在一段負值，由圖3可看出，在時間為10 ms時，速度時程曲線由一近似恒定負值開始趨于大于零。

圖2 不同τ1下的震動區邊界質點速度Fig.2 Boundary particle velocity of vibrational zone under different τ1

為確定爆破荷載總持續時間對爆破地震波的產生的影響，數值積分中取爆破荷載上升時間τ1=2 ms，爆破荷載總持續時間分別為τ2=6、8、10、12、14 ms，其余參數選取同前，得到震動區邊界質點的位移和速度時程曲線，如圖3和圖4所示。

圖3 不同τ2下的震動區邊界質點位移Fig.3 Boundary particle displacement of vibrational zone under different τ2

由圖3和4可知，在相同爆破荷載峰值和上升時間下，隨荷載總持續時間的增加，震動區邊界的位移和速度幅值幾乎不變，而位移和速度時程曲線持續時間增加。結合上條結論，可知爆破荷載上升時間影響爆破地震波的幅值，爆破荷載總持續時間影響爆破地震波的持續時間。

圖4 不同τ2下的震動區邊界質點速度Fig.4 Boundary particle velocity of vibrational zone under different τ2

2.2 介質的彈性模量和黏性系數

為確定彈性模量對爆破地震波的產生的影響，數值積分中取爆破荷載上升時間τ1=2 ms，爆破荷載總持續時間τ2=10 ms，彈性模量為別為E=10、15、20、25、30 GPa，其余參數選取同前，得到震動區邊界質點的位移和速度時程曲線，如圖5和圖6所示。

圖5 不同E下的震動區邊界質點位移Fig.5 Boundary particle displacement of vibrational zone under different E

圖6 不同E下的震動區邊界質點速度Fig.6 Boundary particle velocity of vibrational zone under different E

由圖5和6可知，在相同爆破荷載作用下，隨介質的彈性模量增大，震動區邊界上位移和速度幅值減小，且位移和速度時程曲線的持續時間略微減短。這是因為震動區邊界的剛度與介質彈性模量是成正比的，相同爆破荷載作用下，隨震動區邊界的剛度增大，震動區邊界位移和速度幅值減小，介質儲存的彈性勢能減少，因此震動區邊界的回彈時間也變短。

為確定黏性系數對爆破地震波的產生的影響，數值積分中取彈性模量E=20 GPa，黏性系數分別為η=0、5、10、15、20 MPa·s，其余參數選取同前，得到震動區邊界質點的位移和速度時程曲線，如圖7和圖8所示。

圖7 不同η下的震動區邊界質點位移Fig.7 Boundary particle displacement of vibrational zone under different η

圖8 不同η下的震動區邊界質點速度Fig.8 Boundary particle velocity of vibrational zone under different η

由圖7和8可知，在相同爆破荷載作用下，隨介質的黏性系數增大，震動區邊界上位移和速度幅值減小，而位移和速度時程曲線的持續時間略微增長。這是因為Kelvin-Voigt介質采用彈簧和黏壺并聯方式進行力的傳導，介質的彈性模量相同時，黏性系數越大，介質在動力作用下的有效彈性模量也越大，震動區邊界的有效剛度也越大，因此相同爆破荷載作用下的位移和速度幅值則越小，又因為介質的黏滯性增加，導致介質變形運動的時間也增長。

3 爆破地震波的傳播規律

3.1 爆破地震波的幾何衰減規律

由于波陣面的幾何擴散與介質的吸收作用，隨傳播距離增加，爆破地震波在介質中很快地衰減。由式(22)和式(25)可知，質點位移解和速度解由兩部分組成，一部分與r2成反比，另一部分與r成反比，可見幾何衰減的速率介于二者之間，為了表明這種關系，取介質的黏性系數η=0 MPa·s，以排除介質吸收作用的影響，其余參數如下：v=0.3，ρ=2.5×103kg/m3，P0=50 MPa，τ1=2 ms，τ2=10 ms，a=2 m，E=20 GPa。得到質點位移和速度幅值及其衰減速率與爆源距離的關系，如圖9和圖10所示。圖9和10中，位移和速度峰值衰減速率由平均每米衰減的百分比定義。

圖9 位移幅值和幅值衰減速率與爆源距離的關系Fig.9 Relation between displacement amplitude and amplitude decay rate with burst source distance

圖10 速度幅值和幅值衰減速率與爆源距離的關系Fig.10 Relation between velocity amplitude and amplitude decay rate with burst source distance

由圖9和10可知，在靠近震動區邊界處，爆破地震波位移和速度的幅值衰減速率都很大，隨著傳播距離增加衰減速率開始減小，在爆源距離r達到20 m后，質點位移和速度幅值都趨于穩定，而此處的位移和速度幅值衰減速率分別為5.8%和4.7%，接近1/r，于是可將r大于的20 m的區域定義為爆破震動遠區，r小于20 m的區域定義為爆破震動近區，在爆破震動遠區位移和速度的幾何衰減速率等于1/r，在爆破震動近區位移和速度的幾何衰減速率大于1/r，這與前人的研究結果是一致的[20]。

3.2 爆破地震波的材料衰減特性

爆破地震波在黏彈性介質中傳播過程中，會發生振幅譜的衰減和相位譜的彌散，導致波形幅值的降低和頻率成分的改變，即介質對爆破地震波產生了吸收衰減作用，而這種吸收衰減作用主要與介質的彈性模量和黏性系數相關，可通過對式(22)和(25)進行數值積分和參數分析進行說明。首先，研究彈性模量對介質吸收能力的影響，在數值積分中取黏性系數η=10 MPa·s，彈性模量分別為E=10，15，20，25 GPa，其余參數同前，得到不同爆源距的位移和速度幅值。為衡量介質對爆破地震波的吸收作用，用不同爆源距處的位移和速度幅值與震動區邊界的位移和速度幅值作百分比，以排除震動區邊界振動幅值不同對分析的干擾，它們的百分比越小，則介質對爆破地震波的吸收能力越強，結果如圖11和圖12所示。

圖11 位移幅值百分比與爆源距離的關系Fig.11 The relationship between the displacement amplitude percentage and the source distance

圖12 速度幅值百分比與爆源距離的關系Fig.12 The relationship between the velocity amplitude percentage and the source distance

由圖11和12可知，介質的彈性模量越大，介質對爆破地震波的吸收衰減作用越弱。雖然在相同爆破荷載作用下，介質的彈性模量越低，震動區邊界的振動幅值越大，但可預計隨著傳播距離增加，不同彈性模量的介質的振動幅值會很接近，甚至會出現高彈性模量介質的振動幅值更大的情況，如爆源距離30 m處，彈性模量為10 GPa的介質的速度幅值為0.85 cm/s，而彈性模量為15 GPa 的介質的速度幅值為0.90 cm/s。

然后，研究黏性系數對介質吸收能力的影響，數值積分中取彈性模量E=20 GPa，黏性系數分別為η=5、10、15、20 MPa·s，其余參數同前，計算結果如圖13和圖14所示。

圖13 位移幅值百分比與爆源距離的關系Fig.13 The relationship between the displacement amplitude percentage and the source distance

圖14 速度幅值與爆源距離的關系Fig.14 The relationship between the velocity amplitude percentage and the source distance

由圖13和14可知，介質的黏性系數越大，介質對爆破地震波的吸收能力越強。結合上述彈性模量對介質吸收能力影響的結論，可知介質的黏性系數與彈性模量的比值越高，介質對爆破地震波的吸收能力越強。

最后，采用歸一化的振幅頻譜描述在不同黏性系數的介質中，質點速度頻譜隨爆破地震波傳播的變化規律。數值積分中取彈性模量E=20 GPa，黏性系數分別為η=0、1、5、10 MPa·s，其余參數選取同前，計算結果如圖15(a)、(b)、(c)、(d)所示。

由圖15(a)可知，當黏性系數η=0 MPa·s，即介質為彈性材料時，爆破地震波的頻率成分在爆源距離達到20 m后幾乎不發生改變，這與上述定義爆破擾動遠區的位置相同。當考慮介質的黏性時，隨傳播距離增加，爆破地震波高頻成分相對于低頻成分減小，黏性系數越大這種減小的速度也越快，如圖15(b)、(c)、(d)所示。

(a) η=0 MPa·s

(b) η=1 MPa·s

(c) η=5 MPa·s

(d) η=10 MPa·s圖15 不同爆源距離的質點速度頻譜Fig.15 Particle velocity spectrum for different source distance

4 結 論

本文將巖體考慮成Kelvin-Voigt介質，并將爆破荷載等效地施加在爆破震動區邊界上，通過傅里葉變換得到爆破地震波的積分解，經過數值積分和參數分析，得到如下結論：

(1) 爆破荷載上升時間越短，震動區邊界的振動幅值越大；爆破荷載總持續時間越長，震動區邊界的振動持續時間也越長，但振動幅值幾乎不受影響。

(2) 在相同爆破荷載作用下，隨介質的彈性模量增加，震動區邊界的振動幅值減小，振動持續時間略微減短；在相同爆破荷載作用下，隨介質的黏性系數增加，震動區邊界的振動幅值減小，振動持續時間略微增長。

(3) 爆破地震波在介質中傳播存在波陣面的幾何衰減和介質吸收的衰減，幾何衰減分為近區衰減和遠區衰減，在近區的衰減速率大于1/r，在遠區的衰減速率等于1/r。介質的黏性系數與彈性模量的比值越高，介質對爆破地震波的吸收衰減能力越強。

(4) 爆破地震波在彈性介質的傳播過程中，其頻率成分只在爆破擾動近區產生變化，傳播到爆破擾動遠區后頻率成分不發生改變；爆破地震波在黏彈性介質的傳播過程中，隨傳播距離增加，其高頻成分相對低頻成分不斷地減小，且介質黏性系數越大，減小的速度越快。