基于小波變換模改進Perona-Malik模型的強噪聲信號濾波算法

毋文峰， 陳小虎

(1.中國人民武裝警察部隊警官學院 管理科學與工程系,成都 610213；2.中國人民解放軍火箭軍工程大學 裝備管理工程系,西安 710025)

機械振動信號在產生、傳輸和記錄過程中，由于生成系統和介質的原因，經常會不可避免地受到各種噪聲的干擾，使信號的分辨率下降，重要的細節特征受到影響，甚至信號失真，因此，在進一步的奇異性檢測、特征提取前，有必要采取適當的方法來降低或去除信號噪聲。去噪是機械振動信號處理中一個非常重要的預處理過程，已有國內外諸多專家學者在深入研究這一問題。

目前，小波變換是最為重要的機械振動信號去噪方法之一[1]，已得到了廣泛深入的研究和應用。包廣清等[2]針對隨機噪聲信號，將小波閾值去噪原理用于經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)中，提出了EMD閾值去噪方法，用于軸承故障振動信號可以獲得較高的信噪比。魏振春等[3]引入雙變量改進閾值函數，提出了改進的自適應冗余第二代小波去噪方法，改進方法融合了二者的優點，在強噪聲背景下可以很好地保留原信號的特征并有效地去除噪聲。蘇祖強等[4]針對強噪聲、非線性且頻率成分復雜的振動信號降噪問題，提出了基于小波包分解和主流形識別的非線性降噪方法，該方法具有良好的非線性降噪能力。周祥鑫等[5]研究了基于小波閾值的高速道岔振動信號降噪方法，并詳細討論了降噪過程中小波基、分解層數、閾值準則、閾值函數等參數的選擇。李紅延等[6]對比分析了若干不同小波閾值去噪算法，在經典小波閾值去噪算法的基礎上改進了閾值函數，提出了新的小波自適應閾值去噪算法，更好地抑制了噪聲污染和保持信號細節。除了小波去噪方法，專家學者還研究了眾多其他方法，比如付海燕等[7]提出了利用時域同步平均(Time Synchronous Averaging, TSA)技術去除直升機傳動系統振動信號噪聲，能夠有效地去除噪聲和無關信號；周曉峰等[8]為了消除旋轉機械振動信號中不同類型的噪聲，提出了基于虛擬信號的多級獨立分量分析的消噪方法，可以得到很好的消噪效果，有效提高了信噪比；隋文濤等[9]將圖像處理的總變差降噪方法引入振動信號降噪，用于滾動軸承振動信號的降噪處理等。

在實踐中，小波變換和其他傳統去噪方法都存在著一個問題，即信號去噪不可避免地模糊了它的細節部分(如沖擊和邊界等)，而沖擊、邊界等信號細節部分包含了非常重要的故障特征信息，這一點在強噪聲背景信號中尤為嚴重。因此，信號去噪與保留信號細節特征是一對矛盾，有必要研究既能去噪又能保留信號細節等小尺度特征的方法。

偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)是一種新穎的圖像處理方法[10-16]，它利用圖像是分段光滑的二元函數這一重要信息，以圖像邊緣為邊界，采用分段連續的函數逼近真實圖像，抑制噪聲。PDE在去噪的同時可以保留圖像的邊緣和輪廓等小尺度特征。目前PDE在機械振動信號去噪中的研究還極少[17-19]。在PDE理論中，Perona和Malik提出的Perona-Malik模型是一種典型的非線性各向異性擴散濾波模型，已在圖像去噪領域得到了廣泛深入的研究和應用，當然它也存在著易受噪聲干擾而致邊界模糊、魯棒性差等不足，已有部分學者致力于改進Perona-Malik算法。考慮到小波去噪算法具有一定的抗噪聲能力，擬構造一種新的小波變換模擴散系數并引入Perona-Malik非線性各向異性擴散濾波模型，從而綜合小波去噪算法和Perona-Malik擴散濾波模型的長處，提出一種改進Perona-Malik模型用于強噪聲背景機械振動信號降噪，改進算法兼顧了信號降噪和保留信號細節特征，去噪效果更好。

1 Perona-Malik模型基本理論

Perona-Malik模型是最具代表性、應用也最廣泛的非線性各向異性擴散濾波模型之一，它是基于運動的觀點來降噪，其基本模型為

(1)

常用的擴散系數為

(2)

(3)

本文采用擴散系數式(2)。

2 基于小波變換模的改進Perona-Malik模型

小波變換是一種非線性、非平穩信號的時頻分析方法，是最為重要的信號去噪方法之一，小波變換模反映了信號的幅值變化，并具有一定的抗噪聲能力。因此，考慮利用小波變換模替代梯度模用于檢測信號的邊緣。

首先，分析小波閾值去噪方法和Perona-Malik濾波模型之間的內在聯系，其次，構造基于小波變換模的擴散系數并改進Perona-Malik濾波模型。

2.1 小波變換與非線性各向異性擴散的關系

小波閾值去噪方法是非常重要的小波去噪方法之一，它是通過含噪信號小波分解，利用軟閾值或硬閾值抑制小波系數，在保持小波系數正負性(可為0)不變的條件下，使小波系數的絕對值比原小波系數的絕對值小，從而有效地去除噪聲。

設W表示離散小波變換，W-1表示離散小波逆變換，Sλ表示閾值函數并且滿足：x≥0?Sλ(x)≥0，Sλ(-x)=-Sλ(x)，|Sλ(x)|≤x，其中λ是閾值門限。

設t=0時刻原信號為u(x,0)，t=1時刻信號為u(x,1)，則原始信號u(x,0)的小波閾值收縮過程可以表示為

W-1g(|Wu(x,0)|)Wu(x,0)

(4)

其中，令g(|x|)=Sλ(x)-I(x)=(Sλ-I)(x)。

由此可得

(5)

式中：|Wu(x,t)|表示信號小波變換模，反映了信號u(x,t)在x處的幅值變化。在幅值變化平緩處，|Wu(x,t)|的值較小；在邊緣處，|Wu(x,t)|的值較大，而且信號的奇異性越強，|Wu(x,t)|的值越大。因此，小波變換模正好符合非線性各向異性擴散濾波邊緣檢測的要求，這也說明小波閾值去噪方法與非線性各向異性擴散濾波方法之間確實存在著非常密切的內在聯系。

2.2 改進Perona-Malik模型

因此，改進的一維Perona-Malik擴散濾波模型為

(6)

2.3 改進Perona-Malik模型的濾波性能

在改進Perona-Malik擴散濾波模型中，擴散系數g(|Wu(x,t)|)用于控制平滑速度：當信號位于幅值變化平緩的區域x時，|Wu(x,t)|的值相對較小，g(|Wu|)的值相對較大，此時實行強擴散，這對于去除孤立噪聲特別有效；當信號位于邊緣x處，|Wu(x,t)|取得局部極大值，從而g(|Wu|)的值相對較小，此時實行弱擴散以保護重要信息。

3 實驗分析

3.1 算法比較

利用仿真信號比較小波閾值去噪算法、Perona-Malik擴散濾波模型、改進Perona-Malik擴散濾波模型的去噪效果，并用信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)評價各算法的去噪效果。若信噪比SNR越大，則算法的去噪效果越好。

假設滾動軸承外圈單點損傷故障振動仿真信號為

(7)

其中，衰減振動的固有頻率fn=3 000 Hz，固有振動角頻率ωn=2πfn，位移常數y0=5，阻尼系數ξ=0.1，采樣頻率fs=12 000 Hz，采樣點數1 024，如圖1(a)所示。

在仿真故障信號(即原始純凈信號)上分別加上不同SNR噪聲強度(單位為dB)的Gaussian白噪聲即為待分析的含噪信號，如圖1(b)(圖中SNR=-10 dB)所示。

比較小波硬閾值去噪、小波軟閾值去噪、Perona-Malik擴散濾波模型、改進Perona-Malik擴散濾波模型的去噪效果，如圖1和表1所示。其中，小波閾值去噪的基本參數為：小波基為”sym4”，小波分解層數為2，閾值分別為Stein無偏似然估計閾值(rigrsure規則)、通用閾值(sqtwolog規則)、啟發式閾值(heursure規則)、極大極小閾值(minimaxi規則)；Perona-Malik模型的梯度閾值參數k=20，迭代次數如表1所示。

(a)

(f)

(b)

(g)

(c)

(h)

(d)

(i)

(e)

(j)圖1 仿真信號去噪Fig.1 Simulation signal denoising表1 仿真信號去噪的SNRTab.1 SNR of simulation signal denoising

SNR小波硬閾值去噪小波軟閾值去噪rshmrshm基本P-M模型改進P-M模型迭代次數1010.945 911.099 910.945 912.879 612.426 97.064 712.426 99.665 09.484 410.765 1156.400 96.546 97.405 08.006 58.000 03.304 37.409 75.791 66.070 76.306 9101.426 91.919 81.371 63.071 83.186 20.297 62.784 32.006 01.994 71.816 72-5-2.500 4-2.806 0-2.692 3-2.410 5-2.114 5-2.741 5-2.726 4-2.272 9-1.543 2-1.513 122-10-6.740 6-5.796 0-5.787 1-6.787 7-5.686 1-5.796 0-5.795 2-5.705 0-3.725 7-3.629 422-15-12.684 8-10.995 8-10.995 8-12.227 6-10.903 7-10.744 5-10.742 1-10.805 5-8.240 3-7.849 422-20-15.787 8-14.380 8-14.380 8-16.162 7-14.440 7-14.380 8-14.380 8-14.445 0-12.108 9-11.689 622

根據圖1和表1可得結論：①小波硬閾值去噪、小波軟閾值去噪、Perona-Malik模型、改進Perona-Malik模型均可去除信號噪聲，小波(硬/軟)閾值去噪平滑了部分有用信號細節特征，Perona-Malik模型及其改進模型則保留了信號細節特征；②在弱噪聲(即SNR=10、5、0)時，四種算法的去噪效果差別不大，相比Perona-Malik模型及其改進模型，小波(硬、軟)閾值去噪算法效果稍好；③在強噪聲(即SNR=-5、-10、-15、-20)時，Perona-Malik模型的去噪效果明顯強于小波(硬/軟)閾值去噪算法，改進Perona-Malik模型又強于基本Perona-Malik模型，改進算法使信噪比平均提高了約3 dB；④相比基本Perona-Malik模型，改進Perona-Malik模型利用小波變換模替代梯度模來檢測邊緣，其抗噪聲干擾能力更強，規避了基本Perona-Malik模型線性低通濾波導致的邊界模糊等問題。因此，改進Perona-Malik模型的去噪效果更好。

綜上所述，相比小波閾值去噪等傳統去噪算法和基本Perona-Malik模型，改進Perona-Malik模型更適用于強噪聲信號去噪。

除了Gaussian白噪聲，改進算法用于其他類型噪聲(如脈沖噪聲、高頻窄帶干擾)，其降噪性能也優于小波閾值去噪算法和基本Perona-Mailik模型；并且除了加性噪聲，作者還研究了改進算法用于乘性噪聲降噪，其降噪效果也較好，如表2所示。

表2 改進算法用于其他噪聲的SNR(-10 dB)Tab.2 Modified algorithm SNR for other noises (-10 dB)

3.2 實測振動信號降噪

為進一步驗證改進Perona-Malik模型濾波算法的有效性和實用性，用某熱電廠驅動電機端軸承振動信號來去除噪聲，軸承參數如表3所示，軸承檢測如圖2所示。圖3(a)所示信號為軸承外圈故障振動信號，其中，采樣頻率為12 kHz，軸轉速為1 719 r/min。

表3 軸承結構參數Tab.3 Bearing structural parameters

圖2 軸承檢測Fig.2 Bearing detecting

圖3(a)所示為實測軸承振動信號及其幅值譜，圖3(b)所示為利用改進Perona-Malik模型用于實測含噪信號后得到的去噪信號及其幅值譜，其中，擴散系數梯度閾值參數k=20，迭代次數為1。由圖3可知，只需迭代1次，改進Perona-Malik模型就較好去除了含噪信號中的噪聲，突出了它的特征頻率(外圈故障特征頻率為103 Hz)及其倍頻，從而便于后續強噪聲背景微弱故障特征提取，因此，改進算法是可以應用于實際的機械振動信號降噪的，并且優于傳統的信號降噪算法。

(a)

(c)

(b)

(d)圖3 實測信號去噪Fig.3 Measured signal denoising

4 結 論

在基本Perona-Malik模型基礎上，引入小波變換模替代梯度摸構建改進的擴散系數，提出了基于小波變換模改進Perona-Malik模型強噪聲背景信號濾波算法。數值仿真分析和實測實驗表明，相比小波變換等傳統去噪方法和基本Perona-Malik模型，改進Perona-Malik模型濾波算法既能有效地去除噪聲，又能較好地保留信號的細節特征，改進算法抗孤立噪聲干擾能力強，去噪之后信號畸變小。當然，改進模型還有待進一步深入討論和研究，比如改進算法中如何選取小波函數等。