體外預應力連續梁動力性能的能量法二階分析

方德平

(華僑大學 土木工程學院, 廈門 361021)

體外預應力結構具有優良的力學性能，在國內外已得到普遍的應用[1]。已有較多的文獻詳盡地研究了體外預應力結構的靜力性能[2]。不過，對其動力性能的研究，還有待進一步深入。Miyamoto等[3]采用正比假設，即體外筋預拉力的增量正比于梁跨中的振動位移，分析了體外預應力簡支梁的動力性能，得出只適用于單一體外筋線型的自振頻率計算公式。熊學玉等[4]采用正比假設，推導了適用于多種體外筋線型的簡支梁計算公式。焦春節等[5-6]同樣采用正比假設，在振動位移中，把體外筋對梁的預壓力(簡稱體外預壓力)和體外筋變形產生的彎矩，由面積相等的原則，轉化為均勻分布的彎矩，得出雙折線型體外筋的兩跨連續梁振動微分方程，推導出連續梁正、反對稱振型的自振頻率計算公式，分析了體外預壓力對連續梁自振頻率的影響。在簡支梁的動力性能分析中，方德平等[7]指出了正比假設中存在的一些問題，并提出新的合理假設以取代正比假設。在連續梁的動力分析性能中，方德平[8]也指出面積相等的原則和正比假設中存在的問題，也提出新的合理假設。方德平等認為其自振頻率的解析解更接近于數值解，也更精確。

眾所周知，從體系外對桿件施加的外軸力N會產生壓縮軟化效應，這一效應體現為外軸力產生的彎矩Ny，y為撓度。桿件的壓縮軟化效應減小了梁的自振頻率，普通簡支梁的自振頻率

(1)

1 考慮體外筋第二階變形的能量法

假設1：圖1體外預應力連續梁的振動方程，yi=AiXi(x)sin(ωit),反對稱第i振型為Xi(x)=sin(kix),kil=iπ,i=1,2,3,…；正對稱左跨第i振型為Xi(x)=sin(kix)-fisinh(kix),fi=sin(kil)/sinh(kil),kil=(i+0.25)π,i=1,2,3,…；正、反對稱振型取自普通連續梁的振型；假設2：張拉體外筋后，梁為直線；假設3：忽略梁的軸向變形，不考慮體外筋和轉向座的質量。

圖1 體外預應力連續梁Fig.1 Externally prestressed continuous beam

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式中:lt，EtAt分別為體外筋的長度、抗拉剛度。

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在計算體外筋第1階和第2階的變形之前，先討論圖2中線段OA的變形。線段OA在x，y軸方向上的變形分別為δx，δy，考慮二階微分，線段OA的變形為

(cosθδy)2/2lA-sinθcosθδxδy/lA

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圖2 線段OA的變形Fig.2 Deformation of line OA

圖3 體外筋線段的變形Fig.3 Deformation of external tendon segment

第j線段在x,y軸的變形δxj、δyj

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αj=djsinθj+cjcosθj,βj=bjcosθj+(cjsinθj)2/2lj+(djcosθj)2/2lj-cjdjsinθjcosθ/lj;θj，lj分別為第j線段的夾角、長度，如圖1所示。體外筋的全部變形為

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i=1,2,3,…

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這樣，當Cpi=1，體外預壓力和外軸力的壓縮軟化效應相同；當Cpi=0，體外預壓力無壓縮軟化效應。

2 算例分析

本文采用文獻[8]的算例：砼梁長l=5 m，寬0.4 m、高0.15 m，E=32.5 GPa，單位長度質量m=0.8 t/m；體外筋Et=200 GPa、有效預應力σpe=1 000 MPa；l1=l2=l3=l4=1.25 m。分析兩種線型(A和B)、兩種偏心距(大偏心L和小偏心S)和兩種體外筋面積，共8根梁AS1～BL2。A和B線型中e1=0，圖1中的e2～e5見表1，轉向座均位于拋物線上，體外預應力的等效荷載接近于均布荷載，是工程中常見的合理線型，A和B線型相差一個線性項，即兩者的等效荷載相近。L偏心距是S偏心距的2倍。梁號的數字表示體外筋的根數，1，2表示At=137 mm2、274 mm2。

表1 體外筋線型和偏心距Tab.1 The configurations and eccentricities of external tendons

表2為直線型體外筋影響系數Cpi與接觸點數量n之間的關系，表3為拋物線型AL體外筋影響系數Cpi與接觸點數量n之間的關系，其他拋物線型AS、BL和BS的計算結果與AL線型的結果相近，不贅述。表2的直線型體外筋位于梁軸線，接觸點沿梁長度等間距分布。從表2、3可知：體外預壓力的影響系數Cpi主要于接觸點數量n相關，于體外筋線型的關系微弱。從表2可以看出：當只有3個接觸點，即跨間無轉向座時，體外筋存在最大的偏心距損失，影響系數Cpi=1，體外預壓力和外軸力的壓縮軟化效應相同；當接觸點數量n從最小值3開始增加，體外筋偏心距損失逐漸減小，體外筋逐漸接近于無黏結筋，影響系數Cpi從1逐漸降低至接近于0，體外預壓力的壓縮軟化效應減少至接近于0。這與Hamed等的結論相一致，無黏結預壓力無壓縮軟化效應。隨著振型階數的提高，振型中反彎點之間的間距減小，反彎點之間的接觸點數量減少，相當于減少了第1振型中的接觸點數量，因而增大了影響系數。

表2直線型體外筋影響系數Cpi與接觸點數量n之間的關系

Tab.2RelationshipbetweeninfluencecoefficientCpiandthenumberofcontactpointsnforstraighttendon

n正對稱反對稱Cp1Cp2Cp3Cp1Cp2Cp3311111150.18910.910.2750.9700.92870.0880.31610.1610.3350.93990.050.1890.3850.0980.2410.372110.0330.1250.2630.0650.1690.296130.0230.0880.1890.0460.1220.225170.0130.0500.1100.0260.0720.137210.0080.0330.0720.0170.0470.091

表3AL線型體外筋影響系數Cpi與接觸點數量n之間的關系

Tab.3RelationshipbetweeninfluencecoefficientCpiandthenumberofcontactpointsnforALtendon

n正對稱反對稱Cp1Cp2Cp3Cp1Cp2Cp350.1970.8980.9670.3040.9010.94470.0360.3350.960.150.3620.92190.0250.1270.4280.0780.2140.412110.0120.0450.2080.0370.1350.271130.0100.0200.1130.0130.0810.195170.0060.0110.0180.010.0190.093210.0030.0060.0100.0050.0100.037

表4為8根AS1～BL2梁第1～4自振頻率的計算值，ω1,ω3為第1、2反對稱振型的頻率，ω2,ω4為第1、2正對稱振型的頻率。方法①是本文提出的方法；方法②是文獻[8]的方法，方法③是數值法。理論值的正確性一般應由實驗值來驗證，不過這并不適用于預應力砼結構。預應力的施加閉合了砼的微裂縫，增強了梁的剛度，反而增大了梁實測的自振頻率，無法驗證壓縮軟化效應。因此本文采用數值解來驗證理論值的正確性。體外筋的拉力沿長度不變，體外筋與轉向座之間可以無摩擦滑動，對此，數值模擬的簡明辦法：在轉向座兩側體外筋的角平分線上增設接觸單元，接觸單元和體外筋單元均為桁架單元，只承受軸力，如圖4所示。角平分線上增設的接觸單元即可模擬無摩擦滑動，又可保證兩側體外筋拉力相等。接觸單元長度為1 cm，EA與體外筋的EtAt相同；轉向座單元剛度取10倍梁的剛度，模擬其剛性。用集中質量法求解頻率和振型，其方程為

圖4 接觸單元Fig.4 Contact element

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式中:[δ]為梁集中質量處的豎向柔度矩陣；[M]為集中質量對角矩陣，{yi}為第i振型，ωi為第i自振頻率。用廣義雅克比法求出自振頻率和振型。柔度矩陣[δ]包含了砼梁的EI和長度，體外筋的EtAt和長度，轉向座位置、高度，體外筋與轉向座之間的無摩擦滑移等因素。在梁單元的剛度矩陣[K]中，考慮了體外預壓力的影響系數Cpi

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表4 體外預應力梁第1～4自振頻率的計算結果Tab.4 The 1st—4th natural frequency Calculation results of externally prestressed beam

表5 無預壓力梁的ω2、ω4Tab.5 ω2, ω4 of beams without prestress force

3 結 論

外軸力壓縮軟化的影響系數為最大值1，有最大的壓縮軟化效應。無黏結預壓力的影響系數為最小值0，沒有壓縮軟化效應。體外預應力筋存在偏心距損失，體外預應力梁的剛度小于相同形狀的無黏結預應力梁的剛度，因而體外預應力梁的自振頻率低于無黏結預應力梁的頻率。這說明體外預壓力存在壓縮軟化效應，并且已經研究了體外預應力簡支梁預壓力的壓縮軟化效應。本文用能量法對體外預應力連續梁的自振頻率進行了二階分析，闡明了連續梁體外預壓力的壓縮軟化效應。研究結論如下：

(1) 體外預壓力的影響系數介于0～1，梁的轉向座數量決定了體外預壓力的影響系數的大小。跨間無轉向座時，體外筋存在最大的偏心距損失，影響系數等于1，體外預壓力與外軸力具有相同的壓縮軟化效應；增加轉向座數量，減小了偏心距損失，體外筋逐漸接近于無黏結筋，影響系數從1逐漸降低至接近于0。

(2) 體外預壓力和梁第1階穩定臨界荷載比值一般比較小，當跨間至少有1個轉向座時，影響系數Cp1明顯小于1，體外預壓力的第1階壓縮軟化效應很小；部分的Cp2、Cp3值雖接近1，但體外預壓力對第2、3階自振頻率的影響也很小。總之，可以忽略體外預壓力對各階自振頻率的影響。

(3) 由于反對稱振型不產生體外筋的第一階變形，體外筋只產生可忽略的壓縮軟化效應，所以可忽略體外筋對其自振頻率的影響。體外筋只明顯地影響梁的ω2(第1階正對稱頻率)，增加體外筋的偏心距和面積，梁的剛度隨之增加，增大了ω2。不過，其他階的正對稱振型產生體外筋的變形很小，可忽略體外筋對其自振頻率的影響。即只考慮體外筋對第1階正對稱頻率的影響，忽略對其他頻率的影響。