基于VMD-SVD聯合降噪和頻率切片小波變換的滾動軸承故障特征提取

馬增強， 張俊甲， 張 安， 阮婉瑩

(石家莊鐵道大學 電氣與電子工程學院，石家莊 050043)

滾動軸承作為旋轉機械中應用最廣的關鍵零部件，其工作狀態直接影響機械系統的運行效率及使用壽命,因此，對軸承的故障診斷有重要意義和應用價值。

時頻分析方法能提取振動信號時域和頻域的局部信息，在滾動軸承故障診斷中有著廣泛的應用。典型的時頻分布有小波變換、短時Fourier變換、Wigner-Ville分布等[1-2]，但是這些方法都存在著各自的局限性，Yan等[3-4]提出了一種新的時頻分析方法——頻率切片小波變換(Frequency Sliced Wavelet Transform, FSWT)方法。FSWT通過引入頻率切片函數使傅里葉變換具有實現時頻分析的功能，能靈活地實現信號的濾波與分割。鐘先友等[5]采用形態自相關對信號進行降噪，應用FSWT進行細化分析提取軸承故障特征。段晨東等[6]將FSWT應用到發電機組故障特征提取上，并取得了較好的效果；周福成等[7]將奇異值分解結合FSWT應用到齒輪故障特征提取上，實現了齒輪運行狀態的準確判別。研究發現，軸承振動信號中的噪聲會降低FSWT的頻率分辨率，當信號的信噪比較低時，FSWT不能有效地提取出故障特征，受環境噪聲及信號傳遞路徑的影響，滾動軸承故障特征相對于強背景噪聲往往表現得非常微弱且通常以調制形式出現難以提取故障特征，因此，對滾動軸承振動信號進行FSWT分析前進行降噪。變分模態分解(Variational Mode Decomposition, VMD)[8]是一種自適應信號分解方法，其實質相當于帶通濾波，能有效拾取故障頻帶，相比于EMD分解，VMD有效克服了EMD所存在的端點效應和模態混疊等現象[9]。

奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是一種非線性濾波方法，有著極好的穩定性和不變形[10]。通過構造信號的 Hankel矩陣，并對矩陣進行奇異值分解，選取恰當的奇異值進行信號重構能有效地消除信號中的隨機噪聲，最大限度地保留有用信息，剔除無用信息，提高信號的信噪比。

本文提出了VMD-SVD聯合降噪與FSWT相結合的滾動軸承故障特征提取方法，采用VMD-FSWT對軸承故障信號進行降噪處理，然后對降噪信號進行FSWT和故障特征提取。仿真信號與實測數據分析表明該方法在故障特征提取上有效性和準確性。

1 FSWT基本原理

1.1 FSWT正變換

(1)

令λ=1，尺度因子σ=ω/k，k>0，則

(2)

把k(u-ω)/ω引入頻率切片函數(FSF)中，k與ω,u無關，用它來調節變換對時間的靈敏度或對頻率的靈敏度，并稱之為時頻分辨系數。

FSWT常用的FSF為

1.2 FSWT逆變換

FSWT實現了信號的時頻分解，其FSWT采用一種簡單形式逆變換重構原始信號，它的逆變換為

(3)

(4)

2 VMD-SVD聯合降噪方法基本原理

2.1 變分模態分解原理

VMD理論框架是自適應求解約束變分模型最優解，通過不斷迭代確定每個IMF的中心頻率和帶寬，實現信號頻域剖分及各個IMFs的有效分離，每個IMF都是一個單分量的調幅-調頻uk(t)信號，其表達式為[13]

uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))

(5)

VMD的變分問題是尋求K個模態函數uk(t)，k∈{1,2,…,K}，使得所有IMF估計帶寬之和最小，約束條件為各模態之和為輸入信號f，具體分解步驟如下

(1)通過Hilbert變換計算每個模態函數uk(t)的解析信號，得到其單邊頻譜

[δ(t)+j/πt]*uk(t)

(6)

(2)對解析信號混合一預估中心頻率e-jωkt，將每個模態的頻譜調制到相應的基頻帶

[(δ(t)+j/πt)*uk(t)]e-jωkt

(7)

(3)計算以上解調信號的梯度的平方L2范數，估計出各模態分量的帶寬。約束變分模型如下

(8)

(4)引入二次懲罰因子α和Lagrange乘法算子λ(t)，將約束性變分問題變為非約束性變分問題擴展Lagrange表達式如下

L({uk(t)},{ωk},λ(t))=

(9)

利用交替方向乘子算法反復迭代尋求擴展Lagrange表達式的‘鞍點’最小值，最優解為各IMF的{uk}及中心頻率{ωk}。

2.2 峭度準則

峭度是描述波形尖峰度的一個無量綱參數，對信號中的沖擊特性較敏感。對于一個離散變量x，歸一化的4階中心矩被稱為峭度(Kurtosis)，定義為

(10)

式中:E(x-μ)4表示4階數學期望，μ為均值，σ為標準差。在正常情況下，軸承振動信號的幅值概率密度接近正態分布，峭度值約為3，是平穩或弱平穩過程。但當出現軸承元件點蝕、裂紋等損傷沖擊時，信號的幅域參數將發生變化，幅值概率密度函數也將偏離正態分布。所以峭度值越大的IMF中所含的沖擊成分與故障信息越豐富，故障特征就易提取[14]。

2.3 奇異值分解

對實際采樣信號{xi,i=1,2,…,N},由空間重構理論構造L×K階的Hankel矩陣

(11)

式中:N為信號長度，K=N-L+1，延時為1，H為軌道矩陣。H的奇異值分解可表示為

H=USVT

(12)

式中:U∈RL×L，V∈RK×K分別為正交矩陣且滿足UUT=1,VVT=1；S=diag(σ1,σ2,…,σn),其中σ1,σ2,…,σn為奇異值。

奇異值差分譜描述了奇異值序列變化情況，由于差分序列數值較大，本文選擇采用變量Sk表示差分譜[15]

(13)

式中:di=σi-σi+1，t=min(L,K)-1。

奇異值分解后信號的降噪效果與降噪階次選取有關，若階次選取過低則信號故障信息可能丟失，階次過高時，會使得降噪信號仍保留噪聲信息，所以選擇適當的奇異值有效秩階次可以起到有效剝離噪聲的作用。本文采取文獻[16]所提出的一種單邊極大值原則，來確定信號的有效秩階次，從而完成對有用信號的重構和對噪聲的消除。

3 基于VMD-SVD聯合降噪與FSWT的故障特征提取

工程實際中受環境噪聲及信號傳遞的衰減影響，滾動軸承故障特征相對于強背景噪聲往往表現得非常微弱，當信號的信噪比較低時，FSWT不能有效地提取出故障特征，故障信號利用VMD方法處理后，雖然通過峭度準則能篩選包含故障信息最豐富的IMF分量，拾取故障頻帶，但信號分量中難免存在背景噪聲及隨機振動干擾，奇異值分解有良好的消噪能力，能最大限度地保留有用信息，剔除無用信息，提高信號的信噪比。因此，提出了基于VMD-SVD聯合降噪與FSWT相結合的滾動軸承故障診斷方法。

具體步驟如下：

步驟1 對加速度傳感器采集的故障信號進行VMD分解，得到若干IMF；

步驟2 計算各IMF峭度值，根據峭度準則選擇峭度值較大的IMF進行信號重構；

步驟3 獲取重構信號的Hankel矩陣，進行奇異值分解；

步驟4 根據奇異值的差分譜，選擇合適的差分譜峰，由相應的奇異值進行信號重構；

步驟6 針對軸承故障的特點，選零到軸承故障特征頻率五倍頻作為頻率切片區間進行FSWT細化分析，提取故障特征。

4 仿真信號分析

4.1 仿真信號

為驗證本文算法的有效性和準確性，使用單位周期脈沖序列，并向其添加強烈白噪聲來模擬滾動軸承的單點故障，仿真信號如下

(14)

式中：A=1；衰減系數K為800；u(t)為單位階躍函數；τi為0.01/fr～0.02/fr之間的隨機數；n(t)為白噪聲，設定信號的故障特征頻率fr=128。

圖1(a)中可以看出未加噪聲信號是有13個沖擊的周期T=7.814×10-3脈沖序列。圖1(b)、(c)加入噪聲后脈沖信息周期、調制特性完全淹沒于噪聲中，共振頻帶基本被噪聲信號淹沒，無法有效提取故障特征頻率。

4.2 仿真信號降噪分析

仿真信號經VMD分解后各IMF中心頻率如表1所示，可知當K=5時中心頻率相差較大，出現了欠分解現象；當K=7時出現了中心頻率相近的模態分量，導致過分解，因此確定模態分量個數K=6，仿真信號的VMD分解結果如圖2所示。

從圖2可以看出含噪信號經VMD分解后實現了信號頻域及各個IMFs的自適應剖分，每個IMF都緊圍繞在某一中心頻率，各個IMF峭度值如表2所示。IMF2和IMF5峭度值較大，說明包含相對豐富的沖擊成分與故障信息。由峭度準則選取該分量合成得到重構信號u(t)。

經VMD分解后重構信號時域及頻域波形如圖3所示，在時域圖中沖擊特性譜線更為明顯，但脈沖信號周期特性仍受噪聲影響較大，頻域圖中可以較為清晰的看到3 000 Hz及8 000 Hz共振頻帶，但雜頻干擾譜線過多。因此利用奇異值分解對信號u(t)進一步降噪，提高信號信噪比。

表1不同K值各個模態分量的中心頻率

Tab.1IMFcenterfrequencycorrespondingtodifferentvaluesofK

模態個數中心頻率/Hzu7u6 u5 u4 u3 u2 u1 31 0482 9448 262 41 0492 9685 9277 855 51 0493 0275 8177 93610 502 61 0492 9444 4996 2847 93610 502 76332 9445 0826 9368 44811 05211 480

(a)未加噪信號時域圖

(b)含噪信號時域圖

(c)加噪信號頻域圖圖1 仿真信號時域及頻域圖Fig.1 Waveform and spectrum of simulated signals

圖2 VMD模態分量波形及頻譜Fig.2 Waveform and spectrum of simulated signals

表2 各IMF分量峭度值Tab.2 The kurtosis of each IMF

(a)u(t)時域圖

(b)u(t)頻譜圖

(c)v(t)時域圖

(d)v(t)頻譜圖圖3 VMD-SVD聯合降噪分析結果Fig.3 The analysis results of VMD-SVD

(a)奇異值分布曲線

(b)奇異值差分譜圖4 奇異值及奇異值差分譜圖Fig.4 Singular values and difference spectrum

對u(t)的Hankel矩陣進行奇異值分解，奇異值分布曲線及差分譜如圖4所示，根據單邊極大值原則在圖4(b)中自右向左觀察在20點處出現第一個最大單邊峰值，選擇該點為重構信號有效秩階次對u(t)進行降噪，奇異值降噪后信號v(t)，其時域波形及頻譜如圖5所示。

圖5 EMD模態分量波形及頻譜Fig.5 Waveform and spectrum of simulated signals

對比圖3與圖1，可以觀測到經SVD降噪后時域波形時域信號中調制、周期特性被清楚顯示出來，脈沖周期約為7.82×10-3s，頻譜圖中無關雜頻分量被去除，共振頻帶被最大限度保留。

為對比分析說明VMD-SVD降噪效果，采用EMD-SVD降噪方法對同一信號進行降噪處理。原始信號EMD分解后各模態分量波形及頻譜如圖5所示，限于篇幅限制只列出了前4個分量波形圖，依據峭度準則選取前兩個IMF分量重構信號u1(t)，利用奇異值分解對信號u1(t)進行降噪，采用相同方法選取奇異值并對信號進行重構，獲取奇異值降噪信號v1(t)如圖6所示。

(a)u1(t)時域圖

(b)u1(t)頻譜圖

(c)v1(t)時域圖

(d)v1(t)頻譜圖圖6 EMD-SVD聯合降噪分析結果Fig.6 The analysis results of EMD-ICA

通過圖2與圖5對比可以看出，EMD分解各模態分量出現了嚴重的模態混疊，各模態分量的頻段分離效果不是很分明，尤其是IMF1，在整個頻率范圍內幾乎都有分量，EMD分解重構信號經SVD降噪后仍在一定程度上受噪聲干擾，與圖5相比EMD-SVD降噪信號時域圖周期性脈沖不太明顯，頻域圖上在4 000 Hz左右有著雜頻分量干擾。為了定量地分析兩種方法降噪后的去噪效果，選取峭度值(K)、峰值信噪比(PSNR)作為降噪后效果的評價指標，峰值信噪比則反映了信號的去噪能力，峰值信噪比越大則說明去噪效果越好。

4.3 仿真信號FSWT時頻分析

表3 降噪結果對比Tab.3 The contrastive results of the two methods

(15)

頻率切片區間取[0，600]Hz，圖7為降噪信號的FSWT結果。從圖7(a)中可以明顯看到故障特征頻率基頻128 Hz及其倍頻256 Hz、384 Hz、512 Hz信息，時頻分布特征比較清晰，由此可見仿真信號經VMD-SVD聯合降噪后能夠有效消除噪聲干擾，強化了故障沖擊特征，能夠實現故障特征提取。

為與本文方法進行比較分析，對EMD-SVD降噪信號進行FSWT分析如圖7(b)所示。從該圖中可以看到故障特征頻率基頻128 Hz、二倍頻256 Hz，高頻信息不能很好被提取，時頻分布特征不夠清晰，由此可見本文方法在降噪與故障特征提取上效果更好。

(a)VMD-SVD降噪信號FSWT時頻圖

5 實測信號分析

5.1 實驗裝置與數據采集

通過圖8所示QPZZ-Ⅱ旋轉機械故障試驗臺采集滾動軸承故障數據，用內圈點蝕故障號對本文所提方法進行驗證，將CA-YD-188型傳感器利用磁座安裝在支座上，信號的采樣頻率為25.6 kHz，軸承轉速為317 r/min，轉頻為5.28 Hz理論內圈故障特征頻率為37.8 Hz。

滾動軸承發生內圈故障時，內圈轉動所引起的沖擊振動呈現出周期性的變化，這種周期性變換使得振動信號產生以轉速為調制頻率的調頻調幅現象，高頻振動序列為其高頻載波。內圈故障信號的時域和頻域波形如圖9所示，從圖中可以看出時域波形有沖擊但并不突出，頻譜圖譜線成分豐富不能確定故障特征頻率及故障類型。

軸承型號 中徑D/mm滾子直徑d/mm接觸角α/(°)滾子個數z轉速r/minN205E38.57.5012317

5.2 實測故障數據分析

滾動軸承早期故障特征通常比較微弱，由于背景噪聲及傳遞路徑衰減因素的干擾，會對特征信息的提取帶來嚴重阻礙。故障信號經VMD分解后選取峭度值最大的模態分量實質相當于對故障信號做帶通濾波處理，拾取了故障特征相對豐富的頻帶，而早期故障特征信息的微弱特征并未改變，因此需對重構信號進一步奇異值降噪以最大限度保留有用信息，剔除無關分量干擾從而提高故障信號信噪比。

圖9 內圈故障信號波形及其頻譜

Fig.9 Inner ring fault signal waveform and its spectrum

采用表2方法對故障信號進行VMD分解，根據峭度準則選取峭度值最大的前兩個IMF進行合成如圖10(a)、(d)，拾取了高頻共振頻帶，說明在10 kHz頻帶故障信息最為豐富，VMD分解能夠克服模態混疊，實現各IMFs頻率的有效分離。

利用奇異譜分解對VMD分解后合成信號進行降噪分析，重構信號Hankel矩陣奇異值分解后奇異值分布如圖10(b)、(e)所示，通過計算奇異值差分譜依據文獻方法選取前72個奇異值對信號進行重構，重構信號波形如圖10(c)、(f)所示。

(a)IMF合成信號波形

(b)奇異值分布曲線

(c)VMD-SVD降噪信號波形

(d)IMF合成信號頻譜

(e)奇異值差分譜

(f)VMD-SVD降噪信號頻譜圖10 內圈故障信號降噪結果Fig.10 Inner ring fault signal waveform and its spectrum

根據文獻[15]所提出的單邊極大值原則確定信號的有效秩階次為72，對比圖10(c)、(f)與(a)、(d)可以看出VMD-SVD降噪信號時域沖擊特征更為明顯，頻域故障譜帶更為精確，說明降噪信號有效保留了原始故障信號的故障信息，去除了噪聲及雜頻干擾為下一步FSWT故障信息提取創造了有利條件。

軸承內圈故障信號經VMD-SVD降噪后，按式(15)選擇FSWT參數，頻率切片區間取[0，200]Hz，圖10為降噪信號的FSWT結果。作為對比采用FSWT對EMD-SVD降噪信號進行分析，從圖11(a)、(c)的時頻圖中可以發現明顯的38 Hz故障區域，對應軸承內圈故障特征頻率，同時存在76 Hz、114 Hz、152 Hz等頻率成分，這正好對應故障頻率的二倍頻、三倍頻、四倍頻；在基頻帶左右存在32.8 Hz、43.2 Hz邊頻帶，這與內圈故障特征頻率被轉頻所調制的特性相符，進一步驗證了故障位置為軸承內圈。

(a)VMD-SVD時頻圖

(b)EMD-SVD時頻圖

(c)VMD-SVD時頻幅值圖

(d)EMD-SVD時頻幅值圖圖11 軸承內圈故障信號的FSWT結果Fig.11 FSWT results bearing inner ring fault signal

對比圖11(a)、(c)與(b)、(d)可知，由于EMD分解各IMF分量間的模態混疊等，不同分量間頻帶不能實現較好分離，在FSWT時頻圖中雖能提取故障特征頻率及部分倍頻但效果并不清晰，雜頻譜線及噪聲干擾過多，突出了本文方法的優越性。

6 結 論

針對頻率切片小波變換在強背景噪聲中提取故障特征不足的問題，提出了基于VMD-SVD聯合降噪和頻率切片小波變換的滾動軸承故障特征提取方法，變分模態分解是一種新的信號自適應方法，其克服了EMD方法中的模態混疊等問題，能有效拾取故障頻帶，經SVD降噪后能保留有用信息，消除背景噪聲干擾。主要結論如下:

(1)將VMD-SVD聯合降噪與FSWT相結合，能準確的從故障信號中提取故障特征頻率，仿真信號與實測數據分析驗證了該方法有效性。

(2)故障信號進行VMD分解后可有效選擇故障頻帶，經SVD降噪后能最大限度保留有用信息，去除背景噪聲干擾，降噪效果優于EMD-SVD聯合降噪分析。

(3)時頻分析方法結果表明，相比于EMD-SVD降噪方法，本文時頻分布特征更加清晰，在滾動軸承故障特征提取上效果更加準確，具有明顯優勢。

VMD在故障信號分解及故障頻帶選取效果有賴于懲罰因子α和模態分量K的事先給定，本文下一步的研究工作是對VMD參數的優化及自適應選取。