配置直線不等長預應力筋簡支梁自振頻率研究

郭凱強， 賈艷敏， 于廣龍， 王佳偉, 張冠華

(1.東北林業大學 土木工程學院，哈爾濱 150040；2.遼寧省交通規劃設計院有限責任公司公路養護技術研究中心，沈陽 110101)

預應力混凝土簡支梁橋是我國橋梁工程中應用最廣泛的結構形式之一，因此，對其自振頻率的準確計算顯得尤為重要。近年來國內外對簡支梁橋的振動特性進行了大量研究[1-4]，Saiidi等[5]通過室內和現場試驗，得出了預應力與混凝土梁自振頻率的關系，預應力越大自振頻率越大。Miyamoto等[6]采用初等梁理論，推導了預應力鋼混組合梁的自振頻率計算公式，并分析了體外筋及偏心距對自振頻率的影響。熊學玉等[7]對Miyamoto提出的公式進行了修正和擴充，分析了體外預應力混凝土梁的振動特性，分別推導了體外預應力筋不同布置方式下的自振頻率計算公式，并對其影響因素進行了探討。肖靜霆等[8]認為預應力鋼筋的拉力與梁所受的壓力均屬于結構的內力，預應力的大小不影響其動力特性。張家瑋等[9]研究了考慮初始荷載影響下梁動力特性的有限元分析，通過建立有限元方程討論了各因素對梁自振頻率的影響。黃萍[10]通過室內試驗研究分析了預應力混凝土簡支梁頻率的變化及動剛度隨荷載增加而退化的規律。張書冰等[11]通過4根簡支鋼-混組合梁的模態試驗證明了修正剛度折減法在組合梁自振頻率計算中的使用范圍更廣。譚國金等[12]研究了無黏結偏心直線預應力筋簡支梁的自振頻率計算，得出了自振頻率與偏心距和預加力之間的關系。楊殊珍等[13]研究了環境溫度和邊界條件對混凝土梁式橋自振頻率的影響，得出了在不同結構形式下二者對梁式橋自振頻率的影響權重不同。

綜上所述，現有對橋梁固有頻率的研究有三類方法，即理論推導、有限元模擬和室內試驗，缺乏實橋驗證，并且對偏心直線不等長預應力筋簡支梁自振頻率的研究相對較少。本文基于既有理論研究成果，提出了不等長預應力筋簡支梁自振頻率的計算公式，并與現場試驗值以及有限元分析值進行對比分析，驗證了公式的合理性和準確性，實現了對實際工程中此類梁自振頻率的求解。

1 自振頻率理論分析

1.1 基本假定

本文在推導不等長預應力筋簡支梁自振頻率計算公式時做出如下假定：①服從Euler-Bernolli梁理論，即忽略梁的剪切變形；②不考慮預應力筋與混凝土粘結滑移的影響，二者變形協調一致；③不考慮預應力引起的反拱，即初始狀態下梁軸線保持平直；④不考慮阻尼的影響，即梁的振動為自由振動。

1.2 理論計算公式

圖1為直線配筋有粘結預應力混凝土簡支梁，其中預應力筋有效長度均不相同。在鋼筋的兩端點作用一對預加力，偏心距為e，由于是偏心受壓，那么除了在梁縱向產生一個合力為p0的軸向壓力外，還會產生一個附加力偶，其合力偶值為：M0=p0e。

1234554321

預應力筋有效長度表

圖1 直線型布筋簡支梁模型圖

Fig.1 Model of unequal prestressed reinforcement simple supported beam

由于梁在振動過程中，梁兩端的預應力是不斷變化的，因此，可設：

(1)

Δp是預應力的改變量，隨振動位移的變化而變化。設簡支梁有λ種不同長度的預應力筋，預應力筋總截面積為A，任意長度的預應力筋與梁的力學模型，如圖2所示。

圖2 任意長度預應力筋與梁的受力圖

Fig.2 Force diagram of prestressed reinforcement of any length and beam

梁在預應力作用下的彎曲振動微分方程可由梁的自由振動方程可得出

(2)

式中：E為梁的彈性模量；I為梁截面慣性矩；y為振動位移；m為梁單位長度質量。

將式(1)代入式(2)可得

(3)

考慮y遠小于e，所以Δpy可忽略不計，又因為p0是初始時所施加的預應力，為一恒定的常數，所以有

(4)

整理式(3)得

(5)

(6)

SMi為圖3中Mi圖的面積，而在鋼筋端點作用單位力引起的該端點的水平位移可由下式計算

(7)

圖3 梁的內力

Fig.3 Internal force diagram of beam

(8)

由式(8)可得由F引起所有鋼筋錨固力的變化為

(9)

而在力F作用下梁跨中的位移為

(10)

將式(9)代入式(10)可得

(11)

由位移互等定理可知，Δp在梁跨中產生的向上位移yΔp為

(12)

(13)

(14)

這樣，根據關系式y=yF-yΔp與式(11)、(14)，可得

(15)

則

(16)

其中

(17)

即

(18)

將式(18)代入式(5)可得

(19)

式(19)即為不等長預應力筋簡支梁的自由振動方程，對于式(19)，根據振動的基本理論，可采用分離變量法求解。可設

y=Y(x)·(cosωnt+jsinωnt)

(20)

式中：ωn為其固有圓頻率；n為自然數；j為虛數單位。

將式(20)代入式(19)，并整理可得

(21)

對于所分析的簡支梁，根據文獻[7]可設Y(x)的表達式為

(22)

式中：ψ為常數。

將式(22)代入式(21)可得

(23)

解式(22)可得

(24)

式(24)即為所求的梁的自振圓頻率，其中

(25)

由梁的自振圓頻率可求得其自振頻率為

(26)

2 方法對比分析

2.1 試驗梁模態試驗

試驗梁所屬橋梁位于沈四(沈陽至四平)高速鐵嶺地段。上部構造為16 m先張法PC空心板梁，采用C40混凝土，預應力筋為Φj15.24(7Φ5)鋼絞線，標準強度1 860 MPa，張拉控制應力為1 395 MPa。如圖4為試驗梁橫截面圖和鋼筋布置圖，圖5為現場試驗照片。

預應力筋有效長度表

編號123456長度1 5961 4601 1901 060930690

(a) 橫截面布置圖

(b) 鋼筋布置圖圖4 試驗梁的橫截面及預應力束布置示意(cm)Fig.4 Test beam cross section and prestressed tendon layout(cm)

圖5 現場試驗照片Fig.5 Field experiment photo

本次動測試驗采用江蘇東華測試技術有限公司研發的東華橋梁模態測試系統，主要試驗儀器包括傳感器、路由器、筆記本電腦以及DHDAS信號測試分析軟件等，測點布置分別在支點、1/4跨、跨中及3/4跨位置處，采用自然脈動激勵的方法對該試驗梁進行激振，采樣頻率為100 Hz，分析頻率為39.06 Hz，采用連續采樣的采樣方式，試驗過程中采用GPS同步衛星測試模式，增強各傳感器之間的同步性，圖6為試驗梁測點布置圖。

圖6 試驗梁測點布置圖Fig.6 Test beam measuring point layout

2.2 有限元模型的建立

采用有限元分析軟件ANSYS建立預應力混凝土簡支梁有限元模型。根據試驗梁的特點，混凝土用實體單元Solid-65模擬，預應力筋與普通鋼筋都以桿單元 Link-8來模擬[12]。按照原設計資料，分別建立預應力筋與普通鋼筋模型，見圖7。建模過程中采用約束方程法模擬混凝土與鋼筋之間的作用，即鋼筋單元的一個節點與混凝土單元的多個節點建立約束方程，通過多組約束方程，將鋼筋與混凝土的單元連接成一個整體；預應力施加采取常用的降溫法，并依照規范求解預應力損失。圖8為有限元分析得到的前兩階豎向振型。

(a) 鋼筋單元圖

(b) 混凝土單元圖圖7 預應力混凝土空心板梁有限元模型Fig.7 Finite element model of prestressed concrete hollow slab beam

2.3 數據對比分析

應用式(26)對試驗梁進行一階和二階頻率計算，并對試驗梁有限元模型進行模態分析。前兩階頻率理論計算結果、現場試驗結果和有限元計算結果見表1。

由表1可以看出，試驗梁一階和二階自振頻率的理論計算結果、有限元分析計算結果以及實測結果均非常接近，誤差基本在5%以內，說明本文推導的理論計算公式和建立的有限元模型在計算前兩階頻率上是較為準確的。

表1頻率試驗值、理論值和有限元值

Tab.1Frequenciesresultofmodelexperiment,theoryandfiniteelement

頻率理論值/Hz實測值/Hz有限元值/Hz誤差a/%誤差b/%誤差c/%一階5.81 5.86 5.96 0.91 2.60 1.73 二階23.60 23.03 22.35 2.44 5.58 2.97 注:誤差a為(f理論值-f實測值)/f實測值×100%;誤差b為(f理論值-f有限元值)/f有限元值×100%;誤差c為(f有限元值-f實測值)/f實測值×100%

(a) 一階豎向振型

(b) 二階豎向振型圖8 試驗梁前兩階豎向振型圖Fig.8 The first two vertical modes vibration modes of the test beam

3 自振頻率影響因素分析

為了探討預應力值和偏心距對不等長預應力筋簡支梁自振頻率的影響，采用本文計算公式和有限元法分別計算了同一偏心距情況下多組預應力值對應的簡支梁第一階自振頻率，以及同一預應力值情況下多組偏心距對應的簡支梁第一階頻率。

3.1 預應力的影響

偏心距取0.325 m，施加不同預應力的簡支梁第一階頻率有限元計算和理論計算結果見表2。

由表2可知，偏心直線不等長預應力筋簡支梁一階頻率隨著鋼筋預應力的增大而略有降低，而有限元計算結果變化很小?？傮w而言，鋼筋預應力的大小對簡支梁的一階頻率影響很小。故實際橋梁隨著運營時間的增長，預應力損失情況對橋梁一階頻率影響很小。

3.2 偏心距的影響

鋼筋預應力取1 100 MPa，不同偏心距情況下試驗梁一階頻率的理論計算和有限元計算結果見表3。

表2預應力對簡支梁第一階頻率的影響

Tab.2Theinfluenceofprestressvalueonnaturalfrequencyofsimplysupportedbeam

鋼筋預應力/MPa1 0001 0501 1001 1501 2001 250理論值/Hz5.847 5.829 5.811 5.793 5.775 5.757 有限元值/Hz5.950 5.956 5.962 5.967 5.973 5.978 誤差/%1.73 2.13 2.52 2.91 3.31 3.70

表3偏心距對簡支梁第一階頻率的影響

Tab.3Theinfluenceofeccentricityonnaturalfrequencyofsimplysupportedbeam

偏心距/m0.2950.3050.3150.3250.335理論值/Hz5.757 5.772 5.789 5.805 5.823 有限元值/Hz5.940 5.947 5.954 5.962 5.969 誤差/%3.09 2.94 2.78 2.62 2.45

表3中只列出了偏心距在0.295～0.335 m之間的一階自振頻率計算結果，同理可計算出其它偏心距下的預應力簡支梁自振頻率，計算結果見圖9。由表3和圖9可知，一階自振頻率隨偏心距的增大而增大，二者呈非線性關系。實際工程中由于要考慮鋼筋保護層厚度、截面形狀及整體受力等因素，偏心距改變范圍比較小，而在這一范圍內一階頻率與偏心距的關系則是呈線性變化的。

圖9 不同偏心距對自振頻率的影響Fig.9 The influence of different eccentricity on natural frequency

4 結 論

(1)采用本文提出的公式計算偏心直線不等長預應力筋簡支梁的頻率是合理、準確的，一階和二階頻率計算值與試驗值和有限元分析值吻合良好，對實際工程應用性強。

(2)當偏心距一定時，偏心直線不等長預應力筋簡支梁自振頻率隨著鋼筋預應力的增大而略有降低，鋼筋預應力的大小對簡支梁的自振頻率影響較小。故實際工程中橋梁的預應力損失情況對其一階頻率影響很小。

(3)當預應力值一定時，自振頻率隨著偏心距的增加而增加，二者呈非線性關系；而實際工程中偏心距變化范圍較小，二者呈線性關系。