說說三角形面積公式的應用

■河南省潢川縣高級中學高三(20)班 白羽晗

在△ABC中,若三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,則這個三角形的面積S=三角形的面積公式看似簡單,應用卻十分廣泛,下面舉例說明。

一、應用三角形面積公式求面積

分析：已知AB和AC,只需求出兩邊的夾角A,就可以利用三角形的面積公式求解。

因此,B=30°。

從而A=180°-120°-30°=30°。

評注:求三角形的面積問題,先觀察已知什么,缺少什么,用正弦定理、余弦定理求出需要的元素,就可以求出三角形的面積。當遇到求四邊形面積時,可以轉化為求兩個三角形的面積之和。

二、應用三角形面積公式求角

(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設S為△ABC的面積,滿足S(a2+b2-c2),則角C的大小為_____。

分析：把三角形面積公式看成以所求角為未知數的方程來求解。

評注:應用三角形面積公式求角時,同樣要特別注意解的個數,判斷解的個數可依據三角形的幾何性質和三角函數的單調性。

三、應用三角形面積公式求邊

例3 (1)在△ABC中,已知AB=3,A=120°,且△ABC的面積為邊的長為。

(2)設△ABC的內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且cosB=,b=2。當△ABC的面積為3時,求a+c的值。

分析：(1)先應用三角形面積公式求出AC,再結合余弦定理求BC邊的長。

(2)將三角形面積公式和余弦定理看成關于a,c的方程組。

評注:利用正弦定理、余弦定理、面積公式將已知條件轉化為方程組是解決復雜問題的常見思路,將方程化為只含邊的式子或只含角的三角函數式,然后化簡并考察邊或角的關系,最終求解。

四、三角形的面積公式的綜合應用

例4 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,并且cos2C+22cos

C+2=0。

(1)求角C的大小;

分析：(1)利用余弦倍角公式,將題設中的三角方程化為關于cosC的二次方程,從而求得角C的大小;(2)綜合應用余弦定理、三角形面積公式和正弦定理求解。

解：(1)因為cos2C+22cos

C+2=0,所以2cos2C+22cosC+1=0。

評注:題目條件或結論中若涉及三角形面積的綜合題,除根據題意靈活選用三角形的面積公式外,還要用到正弦、余弦定理及三角函數、三角恒等變換、方程等知識。