應用能量觀點解決動力學問題

2018-09-28 05:56:28湖南省汨羅市第一中學周輝林

中學生數理化(高中版.高考理化) 2018年9期

■湖南省汨羅市第一中學周輝林

利用動能定理、機械能守恒定律、能量的轉化和守恒定律來分析動力學問題,稱之為應用能量的觀點分析求解動力學問題。若題目沒有涉及加速度和時間,則無論是恒力做功還是變力做功,不管是直線運動還是曲線運動,動能定理均適用。當只存在動能、勢能的相互轉化時,則應用機械能守恒定律。當存在除機械能以外的其他能量時,則應用能量的轉化和守恒定律。

一、動能定理的應用

例1我國將于2022年舉辦冬奧會,跳臺滑雪是其中最具觀賞性的項目之一。如圖1所示,質量m=60kg的運動員從長直助滑道AB的A處由靜止開始以加速度a=3.6m/s2勻加速滑下,到達助滑道末端B時的速度vB=24m/s,A、B兩點間的豎直高度差H=48m。為了改變運動員的運動方向,在助滑道與起跳臺之間用一段彎曲滑道銜接,其中最低點C處附近是一段以O為圓心的圓弧。助滑道末端B與滑道最低點C的高度差h=5m,運動員在B、C兩點間運動時,阻力做功W=-1530J,取g=10m/s2。

圖1

(1)求運動員在滑道AB上下滑時受到阻力f的大小。

(2)若運動員能夠承受的最大壓力為其自身重力的6倍,則C點所在圓弧的半徑R至少應為多大?

解析:(1)運動員在滑道AB上做初速度為零的勻加速運動,設滑道AB的長度為x,則,解得x=80m。由牛頓第二定律得,解得

(2)設運動員到達C點時的速度為vC,則運動員在從B點運動到C點的過程中,由動能定理得解得vC=25m/s。設運動員在C點所受的支持力為N,由牛頓第二定律得N-mg=由題意和牛頓第三定律得N=6mg。聯立以上各式解得R=12.5m。

思維方法:利用動能定理時,需要先確定研究對象,做好受力分析和過程分析,再判斷哪些力做功、哪些力不做功、哪些力做正功、哪些力做負功,然后確定總功及初、末狀態物體的動能,最后列動能定理方程求解。

二、機械能守恒定律的應用

圖2

例2如圖2所示,由四分之一圓弧AB和二分之一圓弧BC組成的光滑軌道固定在豎直平面內,兩者在最低點B平滑連接。AB弧的半徑為R,BC弧的半徑為。一小球從A點正上方與A點相距處由靜止開始自由下落,經A點沿圓弧軌道運動。

(1)求小球在B、A兩點的動能之比。

(2)通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點。

解析:(1)設小球的質量為m,小球在A點的動能為EkA,由機械能守恒定律得EkA=mg·。設小球在B點的動能為E,同理kB得

(2)若小球能沿軌道運動到C點,則小球在C點所受軌道的支持力N應滿足N≥0。設小球在C點的速度大小為vC,由牛頓第二定律和向心力公式得解得在小球從開始下落至到達C點的全過程中,由機械能守恒定律得mg·解得因此小球恰好可以沿軌道運動到C點。

思維方法:利用機械能守恒定律時,需要先確定研究對象,做好受力分析和過程分析,再判斷是否符合機械能守恒的適用條件,然后選取初、末狀態并確定初、末狀態的機械能,最后列機械能守恒定律方程求解。

三、能量的轉化和守恒定律的應用

圖3

例3如圖3所示,固定斜面的傾角θ=30°,物體A與斜面間的動摩擦因數輕彈簧下端固定在斜面底端,彈簧處于原長時其上端位于C點。用一根不可伸長的輕繩跨過輕質光滑的定滑輪連接物體A和B,滑輪右側的輕繩與斜面平行,物體A的質量為2m,物體B的質量為m,初始時物體A到C點的距離為L。現給物體A、B一初速度使物體A開始沿斜面向下運動,物體B豎直向上運動,物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈回到C點。已知重力加速度為g,不計空氣阻力,整個過程中輕繩始終處于伸直狀態,求:

(1)物體A向下運動剛到C點時的速度。

(2)彈簧的最大壓縮量。

(3)彈簧的最大彈性勢能。

解析:(1)物體A與斜面間的滑動摩擦力f=2μmgcosθ,物體A在從初始位置向下運動到C點的過程中,根據能量的轉化和守恒定律得解得

(2)在物體A剛接觸彈簧到將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈回到C點的整個過程中,對由物體A、B組成的系統應用動能定理得解得

(3)在彈簧被壓縮到最短到恰好能彈回到C點的過程中,對由物體A、B組成的系統應用能量的轉化和守恒定律得Ep+mgx=2mgxsinθ+fx,解得

思維方法:利用能量的轉化和守恒定律時,需要先確定研究對象,做好受力分析和過程分析,再明確有哪些力做功,做功的結果是導致了何種形式的能量相互轉化,然后建立ΔE增=ΔE減的關系求解或討論。