動量守恒中的兩體分離型問題歸類賞析

■四川省成都市實驗外國語學校(西區) 王建強(特級教師)

自從2017年起選修3—5被納入高考必考范圍,碰撞與動量守恒就成了高考命題的重點和熱點。這類試題往往會結合考綱要求重點考查動量守恒中兩體作用模型,通過創設新穎的問題情景,結合直線運動、平拋運動、圓周運動等運動規律,考查同學們靈活運用物理知識解決實際問題的能力。因此同學們應該多多關心身邊物理,關注科學的發展,培養學以致用的意識和躬身實踐的能力。

一、分離后圓周運動+直線運動型

例1如圖1所示,半徑為R的光滑圓環軌道與高為8R的光滑斜面固定在同一豎直平面內,兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連。在水平軌道CD上,一輕質彈簧被a、b兩個金屬小球壓縮(不連接),彈簧和小球均處于靜止狀態?，F同時釋放兩個小球,a球恰好能通過圓環軌道最高點A,b球恰好能到達斜面最高點B。已知a球的質量為m,重力加速度為g。求:

圖1

(1)b球的質量。

(2)釋放小球前,彈簧的彈性勢能。

解析:(1)設a球和b球與彈簧分離后,在軌道CD上運動的速度分別為v1和v2。以a球為研究對象,在A點,由牛頓第二定律得從C點到A點,由機械能守恒定律得解得對b球為研究對象,從D點到B點,由機械能守恒定律得8R,解得v2=4以由a、b兩球和彈簧組成的系統為研究對象,在彈簧彈開的過程中,由動量守恒定律得mv1=mbv2,解得

二、分離后平拋運動+直線運動型

例2質量為M的小物塊A靜止在離地面高為h的水平桌面的邊緣,質量為m的小物塊B沿桌面向A運動以速度v0與之發生正碰(碰撞時間極短)。碰后小物塊A離開桌面,其落地點離桌面邊緣的水平距離為L。碰后小物塊B反向運動。已知小物塊B與桌面間的動摩擦因數為μ,重力加速度為g。求小物塊B后退的距離。

解析:設兩物塊碰后物塊A的速度為vA,物塊B的速度為vB,物塊A做平拋運動,則,解得兩物塊在碰撞過程中動量守恒,則mv0=MvA-mvB,解得設物塊B后退的距離為s,在物塊B開始后退直至停止運動的過程中,由動能定理得μmgs=解得

三、分離后平拋運動+圓周運動型

例3如圖2所示,半徑R=0.5m的光滑半圓形軌道豎直固定在高h=0.8m的光滑水平臺上,與水平臺平滑連接,平臺長度L=1.2m?？梢暈橘|點的兩物塊m1、m2緊靠在一起靜止在平臺的最右端D點,它們之間有烈性炸藥?，F點燃炸藥,假設炸藥釋放出來的能量全部轉化為物塊m1、m2的機械能,使它們具有水平方向的速度,物塊m1通過平臺到達半圓形軌道的最高點A時,軌道對它的壓力大小N=44N,之后水平拋出落在水平地面上的P點,物塊m2也落在P點。已知m1=2kg,取g=10m/s2。求炸藥釋放出來的能量。

圖2

解析:設物塊m1從A點運動到P點經過的時間為t1,物塊m2從D點運動到P點經過的時間為t2,則解得t1=0.6s,t2=0.4s。設物塊m1在A點的速度大小為vA,由牛頓第二定律得解得vA=4m/s。設點燃炸藥后物塊m1和m2速度大小分別為v1和v2,在物塊m1從D點運動到A點的過程中,由機械能守恒得解得v1=6m/s。根據題意得vAt1=L+v2t2,由動量守恒定律得m1v1=m2v2,解得v2=3m/s,m2=4kg。因此炸藥釋放出的能量

四、分離后圓周運動+圓周運動型

圖3

例4如圖3所示,一光滑水平桌面AB與一半徑為R的光滑半圓形軌道相切于C點,且兩者固定不動。一長度L=0.8m的細繩,一端固定于O點,另一端系一個質量m1=0.2kg的小球。當小球在豎直方向靜止時,小球對水平桌面的作用力剛好為零。現將小球提起使細繩處于水平位置時無初速度釋放,當小球擺至最低點時,恰與放在桌面上的質量m2=0.8kg的小鐵球正碰,碰后小球可以反彈起的高度h=0.2m,小鐵球將沿半圓形軌道運動,恰好能通過軌道的最高點D。取g=10m/s2,求:

(1)小鐵球在半圓形軌道最低點C時的速度為多大?

(2)圓形軌道的半徑R應為多大?

解析:(1)設小球擺至最低點時的速度為v0,由機械能守恒定律得解得v0=4m/s。小球m1與小鐵球m2碰撞,動量守恒,設兩球碰后的速度分別為v1、v2。對小球碰后的反彈過程應用機械能守恒定律得,解得v1=2m/s。選水平向右為正方向,則m1v0=-m1v1+m2v2,解得v2=1.5m/s。

總結:通過對以上四類題型的分析,我們不難找到動量守恒中兩體作用類問題的處理思路,即先通過直線運動、平拋運動、圓周運動等運動模型求解物體作用前后的速度,再結合動量守恒、能量守恒等求解。

圖4

1.如圖4所示,ab是水平的光滑軌道,bc是與ab相切的位于豎直平面內、半徑R=0.4m的半圓形光滑軌道。現在A、B兩個小物體之間夾一個被壓縮的彈簧(彈簧未與A、B兩物體掛接)后用細線拴住,使其靜止在軌道ab上。當燒斷細線后,A物體被彈簧彈開,此后它恰能沿半圓形軌道通過其最高點c。已知A、B兩物體的質量分別為mA=0.1kg和mB=0.2kg,取g=10m/s2,A、B兩物體均可視為質點。求:

(1)A物體到達半圓形軌道的最高點c時的速度大小。

(2)A物體剛過半圓形軌道最低點b時,對軌道的壓力大小。

(3)燒斷細線前,彈簧的彈性勢能。

圖5

2.如圖5所示,一質量為M的物塊靜止在桌面邊緣,桌面到水平面的高度為h。一質量為m的子彈以水平速度v0射入物塊后,以水平速度射出。重力加速度為g。求:

(1)此過程中系統損失的機械能。

(2)物塊落地點到桌面邊緣的水平距離。

圖6

3.如圖6所示,一對雜技演員(可視為質點)乘秋千(秋千繩處于水平位置)從A點由靜止出發繞O點下擺,當擺到最低點B時,女演員在極短時間內將男演員沿水平方向推出,然后自己剛好能回到高處A。已知男演員的質量m1和女演員的質量m2之比2,秋千的質量不計,秋千的擺長為R,C點比A點低5R。求男演員落地點C到O點的水平距離s。

圖7

4.如圖7所示,半徑分別是R和r(R＞r)的甲、乙兩光滑圓形軌道安置在同一豎直平面內,兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連,在水平軌道CD上一輕彈簧被a、b兩小球夾住,同時釋放兩小球,a、b兩小球都恰好能通過各自所在側圓形軌道的最高點。求:

(1)兩小球的質量比。

(2)若ma=mb=m,要求a、b兩小球都能通過各自所在側圓形軌道的最高點,彈簧釋放前至少應具有多少彈性勢能?

參考答案: