平衡態統計力學的路徑積分類比

周江 劉樹成

摘要：本文將平衡態統計力學的密度矩陣和量子力學傳播子類比， 從路徑積分形式計算了自由粒子的統計密度矩陣.從路徑積分表達中，我們看到了經典分析力學到量子統計力學的深刻關聯.

關鍵詞：路徑積分統計力學密度矩陣

量子理論的路徑積分形式以特殊的數學形式體現了微觀體系的運動規律. 在費曼提出量子力學路徑積分表述前， 這種數學體系已被廣泛運用于布朗運動和擴散問題的研究中. 在現代量子場論中， 只要將相對論量子場中的時間看成虛時， 并將虛時表達為溫度場的倒數， 則統計力學和相對論量子場論具有完全相同的數學形式. 本文詳細計算討論了量子力學傳播子到統計力學密度矩陣的過渡， 這些類比也將加深對經典分析力學到量子力學和統計力學過渡的理解.

一、量子力學的路徑積分形式

考慮一個微觀粒子從 運動到 ，事件對應的時間為 和 . 經典力學認為粒子走兩點間的最短路徑，量子力學路徑積分認為粒子可以走連接兩點的任意路徑且每條路徑對應的振幅是相同的，但是每條路徑對應的相位不同.總的來講，從 運動到 的概率為幾率幅的模方： ，這個幾率幅為所有路徑的總貢獻

這里求和表示對所有路徑求和. 其中每條路徑的貢獻為 ，這里 為沿著路徑 的經典作用量

這就是量子力學路徑積分的主要思想. 若我們知道了從過去到達 的幾率幅，這個幾率幅叫做波函數，則根據路徑的可疊加性，粒子出現在 的幾率幅構造為

這里定義了函數 ，稱為傳播函數或傳播子.這個等式告訴我們 處的幾率幅是粒子傳播到 處再傳播到 的結果，因為 是任意的，所以必須對該空間點積分.從這個定義我們還可以得到傳播子滿足鏈式規則

這里 代表一個空間點。在量子力學中， 表示空間 處的幾率.將（3）乘以自身的復共軛，由量子幾率守恒得到傳播函數滿足關系式

將 看成 的函數，可以證明它滿足薛定諤方程

這里 表示粒子的質量， 表示以 為中心的勢場.必須指出，只有當時間 時，傳播子 才有定義；當 時，

一般地，對于一個量子力學系統，哈密頓量為 在兩個時空點 和 間的傳播子可以表示為

其中 稱為時間演化算符.為了得出統計力學的路徑積分形式，我們先求量子力學薛定諤方程的路徑積分表示.對于薛定諤方程 ，其形式解為 . 對應的傳播函數可以表達為 ，為了計算這個傳播子，將 無限分割成 等份： . 在 間任意一點對應一個坐標，當 時，對這些坐標積分便可以得到所有路徑的貢獻。這相當于引入了一個任意 時，坐標為 . 利用完備性關系 有

當 成立時，只取一階項。

運用動量空間的平面波波函數和高斯積分得

將這些每個 連起來，則定義了一條路徑 ，路徑 上的點滿足 ， .當取 的極限時，有

式中的指數部分的積分表達式為路徑對應的經典作用量

傳播子就是對這些所有路徑的積分： 這是一個 維積分，積分是路徑的泛函，泛函積分測度定義為

對于定態的情況，考慮一個具有能量本征值和本征函數 的系統. 處的幾率幅可以用能量本征函數展開： 利用正交性關系 可以得到從 到 的傳播子為

這里 這一表達式的優勢在于用能量本征態完全表示體系的傳播子，將會看到，這個表達式和統計力學密度矩陣有著密切的關系。

二、統計力學路徑積分類比

對于一個量子系統，體系處于某一狀態的幾率為 這里 ，根據概率的歸一性得到 ，這稱為配分函數.考慮系統具有一系列的量子態組態，若體系由量子態 描述，則系統處于 的幾率為 現在來計算物理量 的期待值，這樣的系統稱為混合系統，則整個系統平均處于 的幾率為

借助這個式子，定義密度矩陣函數

（13）中的幾率函數只是這個函數的對角元，則 稱為歸一化的密度矩陣，配分函數 .求一個物理量的平均值過程等價于物理量對應的算符和密度矩陣算符做乘積后求跡的過程. 因為幾率是歸一化的，顯然有 成立.令時間差 ，則（11）和密度函數具有完全等價的形式. 在（6）中我們曾證明了量子力學的傳播子 滿足薛定諤方程，在方程中令 將實時變為虛時，則

可以證明， 也滿足相同的方程，即 作變換 則統計力學的密度矩陣可以按照前面的方法得到，

密度矩陣 為

其中積分測度 的定義和前面類似，這就是統計力學密度矩陣的路徑積分形式，它表示連接兩點間所有路徑對密度矩陣的貢獻.路徑積分以數學的形式體現了時空路徑對統計力學的貢獻.顯然，密度矩陣也滿足上面的鏈式法則，這一點的在密度矩陣的狄拉克符號形式中體現更明顯.所以，完備性關系其實體現的是做路徑積分的意義. 在 趨近于零的附近運動時，即溫度不太低時，對于滿足條件且相距較遠的那些路徑，粒子運動的能很大，這些路徑對路徑積分的貢獻很小. 積分中 很大的那些路徑的貢獻很小也可以忽略. 勢函數的不同形式對應了量子力學的不同系統；勢函數的各種處理方案，就對應了統計力學各種近似方法.

現在我們考慮質量為 的自由粒子密度矩陣， 結果可以表示為 維的積分

依次做 完成 維積分得到

配分函數為 ，所以自由粒子坐標空間中歸一化的密度矩陣為 這個結果和教材中給出的密度矩陣的結果完全一致. 對于有相互作用的情形，若勢函數與路徑無關，則密度矩陣（未歸一化）為 （20）

利用這個式子可以很方便的求出系統的配分函數，也很容易推廣到高維的情形.當勢函數與路徑有關時，我們必須考慮路徑對勢函數的影響， 這時經典最小路徑不一定比其他路徑的貢獻大.

三、總結與討論

本文我們將統計力學與量子力學路徑積分形式進行了類比，我們看到路徑積分中的傳播子和統計力學的密度矩陣有完全等價的數學形式，從路徑積分計算同樣得到了密度矩陣的表達式.在路徑積分體系中，多體系統的性質完全由密度矩陣的路徑積分形式來刻畫. 從路徑積分的角度，我們也可以進一步深刻理解統計力學的內涵. 在對相互作用體系的處理中，經常用到各種的近似方法.多粒子體系經常用到有效勢的概念，從路徑積分的角度處理有效勢是非常有效的，這是路徑積分方法的優勢之處. 此外，路徑積分把時間和空間等同處理， 在研究和推廣具有某種對稱性的多體系統也很有吸引力.

參考文獻：

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[4]Feynman，PPHibbsAR著，張邦固，韋秀清 譯 量子力學與路徑積分[M].北京：高等教育出版社，2015.

作者簡介：

周江（1986-）男，博士研究生，貴州大學物理學院講師，研究方向：凝聚態物理。

劉樹成（1986-）男，碩士研究生，貴州大學物理學院助教，研究方向：凝聚態物理。

基金項目：貴州大學引進人才科研項目，基金號：201538。