Poisson分布研究設備更新與維修方案

摘要：本文是設備更新與維修的方案優化問題，分析設備每年價格以及使用不同時間所需的維修費用，找到最優的一種方案使得一定期限內設備更新與維修所需支付總費用最少，這對工廠的生產生活有著重大意義。對每臺設備在不同時間價格以及使用不同時間所需維修費用通過最短路問題進行分析，得到了四臺設備更新維修的最佳方案。針對此案例，我們使用了圖論和 Dijkstra 算法，利用Poisson分布原理二項分布的近似計算，得出以下結果：

設備一：第一年年初購買設備，第四年年初更新至第七年再次更新直至第十年結束，所需費用為 84.03 萬元。

設備二：第一年年初購買設備，第六年年初更新直至第十年結束，所需費用為 142.52 萬元。

設備三：第一年年初購買設備，第四年年初更新至第七年再次更新直至第十年結束，所需費用為 247.1 萬元。

設備四：第一年年初購買設備，第五年年初更新直至第十年結束，所需費用為 65.6 萬元。

利用泊松分布，分別乘以對應的概率可得在題設條件下十年之間設備更新維修最優方案所需最少費用為 707.0788 萬元。

【問題分析】

本問題假設在第 k（k=1，2，…，10）年，生產線的第 i（i=1，2，3，4）臺設備出現嚴重損壞，（并且假設出現嚴重損壞的年份及設備服從參數為λ的 Poisson 分布或其他分布），因此我們首先通過 Poisson 分布計算出來生產線的第 i（i=1，2，3，4）臺設備在第 k（k=1，2，…，10）年出現嚴重損壞的概率，做出表格。此時需要購買一臺新的設備，根據問題二中的方法，整合分析得到該生產線十年之間的最有設備更新與維修方案。

【問題求解】

假設在第 k 年（k=1，2，…，10）年，生產線的第 i（i=1，2，3，4）臺設備出現了嚴重損壞且無法維修，必須進行購買，題目中假設嚴重損壞的設備及年份服從參數為λ的 Poisson 分布，所以我們需要采用 Poisson 分布進行二項分布的近似計算，然后分別算出這十年中每臺設備每年需要更換的概率。在此基礎上，在進行類似問題二的計算，計算這十年間在這一假設條件下所求的最佳設備更新維修方案。

1.首先，本題要研究的是假設在第 k（k=1，2，…，10）年，生產線的第 i（i=1，2，3，4）臺設備出現嚴重損壞，觀察題目中所給的數據以及上面關于泊松分布近似計算的理論分析可得，該問題屬于泊松分布的問題，，若要具體算出λi 的值，需要利用λ = np，即我們需要確定 n，p 的值，由題意可知，n 為本題研究的年數，即 n=10；

而本題 p 未具體指明，因此我們假設 p=1/10，故此時λ=np=1。然后接上面得到的λ帶入計算，同時分別將 k 賦值（k=0，1，2…10），由此可將對 k 附不同的值所對應的概率算出來，見下表：

表 1 泊松分布概率

2.根據上述得出的概率，利用 Matlab 數學軟件，可將此時λ對應的泊松分布的圖像畫出來，見下表：

圖7 泊松分布

3.由題意可知，本題需要研究的仍未這十年間四臺設備更新以及維修問題，由此可推出本題加權有向圖與第二問的加權圖相同的頂點數為 11，根據頂點計算邊數公式可得，該問一共有 55 條邊，可得加權有向圖

將以上數據輸入程序，得出設備四最優方案為：第一年年初購買設備，第五年年初更新直至第十年結束，所需費用為 65.6 萬元。

5.利用 Dijkstra 算法以及以上所求數據即可求出最短路徑以及最優化的方案：

設備一：第一年年初購買設備，第四年年初更新至第七年再次更新直至第十年結束，所需費用為 84.03 萬元。

設備二：第一年年初購買設備，第六年年初更新直至第十年結束，所需費用為 142.52 萬元。

設備三：第一年年初購買設備，第四年年初更新至第七年再次更新直至第十年結束，所需費用為 247.1 萬元。

設備四：第一年年初購買設備，第五年年初更新直至第十年結束，所需費用為 65.6 萬元。

利用泊松分布，分別乘以對應的概率可得在題設條件下十年之間設備更新維修最優方案所需最少費用為 707.0788 萬元。

參考文獻：

[1]張勤.Dijkstra 最短路徑算法的 C 語言實現[J].福州大學學報， 2011， 4：24-27. ZHANG QIN.The shortest path Dijkstra algorithm with C program[J]. Journal of Fuzhou University，2011，4：24-27 [4]丁克良，歐吉坤，趙春梅，正交最小二成法曲線擬合法[J]。測繪科學，2007，32（3）[5]章文波，陳紅艷.實用數據統計分析及 SPSS 應用[M]，人民郵電出版社，2006.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅，等編.概率論與數理統計：第三版.高等教育出版社，2001.

作者簡介：路雯涵，女，1995年12月出生，河南南陽人，本科生，信息與計算科學專業。