多元函數微分學于經濟分析中的應用探究

賈續毅，熊 靖

（西北工業大學，西安 710100）

引言

同一元函數類似，多元函數在現代經濟學、管理學領域方面的應用也很廣泛，應用多元函數的可微性、全微分、條件極值的概念和理論可以對多元函數的最大值和最小值問題進行求解。在運籌學中，最值問題也即是最優化問題，自變量即是決策變量，最值函數即是目標函數。應用多元函數的極值可以刻畫多元函數的局部性質。通過多元函數微分學中的性質方法可以解決一些經濟方面的最優化、決策問題。

一、多元函數微分學相關理論

將一元函數推廣為二元函數，并給出如下定義：設函數z=（fx，y）在點的某個鄰域上有定義，該鄰域中的點P（x，y）=（x0+Δx，y0+Δy）。如果用AΔx+BΔy+o（h）表示該函數在 P0處的全增量 Δz。A 和 B 是與點P0相關的常數，而，o（h）是 h 的高階無窮小量，那么函數在P0處可微，并且AΔx+BΔy是該函數在P0處的全微分。

在處理極值問題時，要明確，對于函數f，如果不帶有約束條件，且滿足f（P）≥f（P0）或者f（P）≤f（P0），則點P0稱為f的極小值點或極大值點，其對應的函數值為極小值或極大值。在討論這些極值點時，要注意僅限制于定義域的內點。在實際應用當中，通常通過判斷函數f在點P0處的偏導數的值來判斷它的穩定點進而確定它的極值點，判別方法是若存在fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，則P0為f的穩定點。求出的穩定點可能還不是極值點，這時再結合經濟問題中的實際意義，確定決策變量的取值，將這些穩定點和端點處的目標函數值進行對比，最終求出極值。

對于函數f，如果帶有約束條件，可引入Lagrange求值法進行求解，當約束條件為一個時，構造Lagrange函數L（x）=f（x1，x2）+φ·g（x1，x2）。其中，φ稱為Lagrange乘數，g（x1，x2）為一個約束條件，求出該函數對于 x1、x2的偏導數，然后令它等于0，再與約束條件聯立，即：

求解這三個方程，可得到 x1、x2、φ 的值，而點（x1，x2）則為函數y=f（x1，x2）的滿足約束條件的極值點。在經濟應用方面，通常情況下，決策變量和約束條件往往不唯一。因此，還需要將Lagrange函數推廣到一般情況下的n維：

式中，φ1，φ2，…，φn為 Lagrange 乘數。此時，可將問題轉化為尋找決策變量被多個條件限制的多元函數的極值方法，此方法將這個有著n個決策變量與p個約束條件的條件極值問題變為一個n+p個變量的方程組的極值問題。對上述構造的函數f，g，如果滿足如下4個條件：一是f，g 在 D 內有連續的導數；二是 g（x0）=g（x1，x2）=0；三是；四是 x0=（x1，x2）是 f在=0條件下的極值點。則?A0∈Rm，s.t（.x0，A0）是式所設的函數L的穩定點，即=0。

二、多產品壟斷利潤最大化問題求解

當函數存在多個自變量時，求目標函數的極值問題通常需要利用其偏導數的概念與性質，為經濟生產中提供最優生產決策的理論支持。

某地區有一壟斷企業，生產兩種產品x1和x2，假設這兩種產品的需求都是線性的，其需求函數分別為：

若將t1與t2看作未知元（表示產品x1與x2的單價，單位為元），把以上兩個方程表示為矩陣形式：

用Cramer法則解得：

即這兩種產品的反需求函數為：

值得認識的是，上述反需求函數所表示的是：兩種產品為互為替代品時，一種產品的產量以負數進入另外一種產品的反需求函數。若其中一種產品（假設為x1）產量上升，則可能引起x1價格的回落，進而導致消費者降低對產品x2的需求，從而使對應于任意已知的產品產量x2的t2值同時下降。

假定該企業的這兩種產品的生產成本函數關系為：

R=16 200+13x1+19x2

則該企業生產銷售這兩種產品的所得利潤是：

再次用Cramer法則求得使企業利潤最大化的產品產量為：

由此確定最大利潤對應下的產品單價（單位為元）：

t1=301.49 t2=425.82

通過以上結果得出該企業的最大利潤（單位為元）：

wmax=23 934.56

三、Lagrange數乘法求解經濟最優化問題

當多個自變量存在且滿足一定關系的求目標函數的極值問題稱為條件極值問題，使用Lagrange數乘法不失為一種簡便快捷的方法，在經濟領域的生產銷售問題中起指導意義。

某制造商制造某種產品的兩個生產要素——勞動力和資本分別為x1與x2。該產品的Cobb-Douglas（柯布—道格拉斯）生產函數（單位為元）：

倘若該制造商制造該產品所需的單位勞動力的成本和單位資本的成本分別為240和480元，該制造商對本產品的總投入為98 000元，應如何分配資金使生產量達到最大值（條件極值問題）。

分析與解決：

本案例為一條件極值問題，其劃歸為數學模型則是求y=f（x1，x2）在條件240x1+480x2=98 000的約束下的最大值。

利用Lagrange（拉格朗日）數乘法，構造Lagrange函數：

因而該制造商在單位勞動力成本為240元，單位資本成本為80元的條件下可以得到最大產量y=f（x1，x2）=185 585.47元。

四、全微分在經濟動態分析中的應用

多元函數的全微分的相關性質反映了當自變量發生增量Δx時對應函數所引起的變化，在經濟中應用于動態分析。

某地區一民營企業的年產品產量由其所投入產品生產的新式設備數目x1和舊式設備數目x2共同決定。年產量S滿足。假如該民營企業原本投入新式設備15臺、舊式設備30臺進行生產，現計劃再引進新式設備1臺，則需要減少多少臺舊式設備才能保持企業的年產量無變化。

利用二階導數的全微分性質得：

故若在題設條件下，新式設備增加1臺，需使舊式設備減少1臺才能保持企業年產量不發生變化。

結語

多元函數微分學可以為當今供給側結構性改革與促進需求的市場經濟下一些決策的制定、問題的解決提供理論性工具。通過對多元函數的極值、全微分性質，以及拉格朗日乘數法的分析與探究，將經濟生活中出現的條件極值、最優化問題進行剖析，建立相關的數學模型并進行精確求解，為企業生產要素的合理分配、利潤的合理最大化，以及消費者需求、利益安排的最優化策略提供解決方法。