多種坐標系下的圓環(huán)線圈磁場分布

溫 歡， 孟雅俊

(1.中北大學信息商務學院 基礎部, 山西 太原 030600;2.鄭州工程技術學院, 河南 鄭州 450044)

0 引 言

自從麥克斯韋將經(jīng)典電學和磁學成功整合到一起，并且發(fā)展為麥克斯韋方程組，電磁學得到了更加深入的學習和應用。圓環(huán)線圈就是應用電磁學的一個非常典型并不可或缺的實例，它在電子、工程領域以及基礎科學研究等方面都得到廣泛的應用。目前，基于電子與工程領域，環(huán)形線圈開發(fā)出車輛檢測器[1]、核磁共振等設備[2]；基于最近基礎物理研究的熱點，超冷原子量子模擬方面，環(huán)形線圈與激光配合構成磁光阱，由此可以將原子俘獲并形成超冷原子量子氣體[3-5]。

磁場的本質(zhì)是電流的空間作用，圓環(huán)電流是最基本的理論磁體單元。在圓電流體系下，文中分別在球坐標系、柱坐標系、直角坐標系給出了明確的磁場表達式，因此，通過Mathematica軟件可以得到整個空間準確的磁場值。結合并推廣磁場表達式，可以獲得任意位置、任意尺寸的通電螺線管的磁場梯度、磁場值等相關磁場指標。這些磁場表達式可以任意地套用到多種計算編程語言系統(tǒng)中。

文中進一步在亥姆霍茲線圈系統(tǒng)中，利用Mathematica軟件在直角坐標系下計算了亥姆霍茲線圈三維、二維、對稱軸向的磁場矢量圖，然后分析得到兩個載流線圈的總磁場在對稱軸的中點附近的較大范圍內(nèi)是均勻的，該計算結果與實際非常吻合。

1 不同坐標系

建立直角坐標系，半徑為a的圓環(huán)線圈放置在xoy平面內(nèi)，線圈的中心與坐標原點重合，通過的電流大小為I，電流的正方向如圖1所示(在此忽略線圈的橫截面積)。

1.1 磁失勢

根據(jù)磁場的“高斯定理”，通過閉合曲面S的磁通量恒等于0，表達式為：

·B=0

(1)

即磁通量的閉合曲面S是由邊界線L所決定的。既然通過S的磁通量僅由它的邊界線L所決定，就可能找到一個矢量A，它沿L做線積分等于S的磁通量[6]。對于磁感應強度B，這個矢量A叫做磁失勢。

(2)

圖1 圓環(huán)線圈在坐標系中的位置

圖中測量點P在xoz平面內(nèi)。

微分形式為：

B(x)=×A(x)

(3)

我們選擇空間一點P(r,θ,φ)，因為環(huán)形線圈是對稱的，將測量點選擇在xoz平面內(nèi) (φ=0)。詳細推導過程參見文獻[7]。空間體系的磁失勢就可以寫為：

(4)

該關系式的積分可以用第一類完全橢圓積分K和第二類完全橢圓積分E來表示：

(5)

式中橢圓積分的參數(shù)k為：

(6)

在球坐標系下，磁場的不同分量為：

(7)

1.2 球坐標系

在球坐標系下(見圖1)，對關系式進行求解可得到P(r,θ,φ)對應分量的磁場值和磁場梯度，如下：

(8)

(9)

式中：μ0——真空磁導率。

α2=a2+r2-2arsinθ

β2=a2+r2+2arsinθ

因此關系式可以得到很好的簡化。

通過Mathematica軟件計算，可以得到磁場的空間微分形式：

(10)

[2α2(r2+a2)cosθ2]K(k2)}

(11)

[α2(-a4+a2r2-2r4+a2(a2-3r2)cos2θ)]K(k2)}

(12)

[3a6+2a4r2+a2r4+2r6+a2(5r2-a2)(r2+a2)cos2θ+(-7a5r+7a3r3-4ar5)sinθ+

a3r(a2-5r2)sin3θ]K(k2)}

(13)

1.3 直角坐標系

空間一點的坐標變化為直角坐標P(x,y,z)(見圖1)。球坐標系和直角坐標系的變換公式為[8]:

即：

(14)

將上式代入球坐標系式(8)和式(9)，可以得到直角坐標系下對應分量的磁場值和磁場梯度，如下：

(15)

(16)

(17)

分析關系式(15)和式(16)可以看出，x、y軸磁場值有一個特點：

由此可知，磁場梯度滿足：

關系式中：

ρ2=x2+y2

r2=x2+y2+z2

α2=a2+r2-2aρ

β2=a2+r2+2aρ

γ2=x2-y2

因此關系式可以得到很好的簡化。

通過Mathematica軟件計算，可以得到磁場的空間微分形式：

2ρ2z2(2x2+y2)+3z4γ)-r4(2x4+γ(y2+z2))]E(k2)+

[a2(γ(2z2+a2)-ρ2(3x2-2y2))+r2(2x4+γ(y2+z2))]α2K(k2)}

(18)

[r2(2r2+ρ2)-a2(5ρ2-4z2)+2a4]α2K(k2)}

(19)

[(ρ2-a2)2+z2(ρ2+a2)]α2K(k2)}

(20)

(21)

2ρ2z2(2y2+x2)-3z4γ)-r4(2y4-γ(x2+z2))]E(k2)+

[a2(-γ(2z2+a2)-ρ2(3y2-2x2))+r2(2y4-γ(x2+z2))]α2K(k2)}

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

1.4 柱坐標系

空間一點的坐標變化為P(ρ,φ,z)，見圖1。柱坐標系和直角坐標系的變換公式為[8]：

即：

(27)

將上式代入直角坐標系關系式(15)、式(16)和式(17)中，可以得到柱坐標系下對應分量的磁場值和磁場梯度，如下：

(28)

(29)

關系式中：

α2=a2+ρ2+z2-2aρ

β2=a2+ρ2+z2+2aρ

因此關系式可以得到很好的簡化。

通過Mathematica軟件計算，可以得到磁場的空間微分形式：

[a4-3a2ρ2+2ρ4+(2a2+3ρ2)z2+z4]α2K(k2)}

(30)

[(a2-ρ2)2+(a2+ρ2)z2]α2K(k2)}

(31)

(32)

(33)

2 亥姆霍茲線圈磁感應強度的數(shù)值計算

亥姆霍茲線圈是一對相同的載流圓線圈彼此平行且共軸，通以同方向電流，當線圈間距等于線圈半徑時，兩個載流線圈的總磁場在軸的中點附近較大范圍內(nèi)是均勻的[9]。故在生產(chǎn)和科研中有較大的實用價值，例如產(chǎn)生標準磁場、霍爾探頭、地磁場的補償、空間輻射磁場的測量和排除等。

亥姆霍茲線圈在直角坐標系中的位置如圖2所示。

圖2 亥姆霍茲線圈在直角坐標系中的位置

由圖2可以看出，在直角坐標系下，亥姆霍茲線圈的對稱中心與坐標原點重合，同軸線為z軸，線圈的芯徑為1 mm，電流方向相同，大小為100 mA，內(nèi)徑r為60 mm，外徑為80 mm，線圈高度為6匝，總匝數(shù)為10×6=60匝，兩線圈間距d為30 mm。

磁力線矢量圖如圖3所示。

(a) 三維磁力線矢量圖

(b) 二維yoz平面(x=0)的磁力線矢量圖

由式(15)～式(17)，利用Mathematica的函數(shù)ListVectorPlot3D[]可以得到{(x, -50, 50), (y, -50, 50), (z, -30, 30)}的三維磁力線矢量分布圖，見圖3(a)。

利用函數(shù) ListVectorPlot[] 畫出yoz平面(x=0)的磁力線矢量切片分布圖，見圖3(b)。

利用函數(shù)ListPlot[] 畫出了三個位置處：(x=0,y=0)，(x=0,y=10)，(x=0,y=15)，沿z軸的磁場強度分布如圖4所示。

圖4 亥姆霍茲線圈的不同位置處，沿z軸磁場強度分布

不同間距的線圈組如圖5所示。

圖5 不同間距的線圈組

通過分析磁力線的疏密，如圖3、圖4和圖5中間距d=30 mm的曲線，可知磁場在中心很大范圍內(nèi)為均勻磁場，尤其是沿著z軸，范圍在{(x=0), (y=0),(z, -10, 10)} 的磁場為均勻磁場區(qū)，繪制的磁感線分布圖符合“磁感線疏密程度反映磁場強弱”的物理要求，同時也滿足亥姆霍茲線圈的特征。

不同間距的線圈組沿z軸(x=0,y=0)磁場強度分布。間距d=30 mm的亥姆霍茲線圈的磁場強度；間距d=24 mm的線圈磁場強度；間距d=36 mm的線圈磁場強度；距離xoy平面d=-15 mm的單線圈磁場強度；距離xoy平面d=15 mm的單線圈磁場強度。

3 結 語

推導、總結了圓環(huán)電流線圈在球坐標系、柱坐標系和直角坐標系的磁場值和磁場梯度表達式，為今后推導復雜的圓形磁場鋪平了道路。這些磁場表達式簡化了推導過程，可以推廣到不同坐標系、任意位置、任意尺寸的通電螺線管系統(tǒng)中。

利用Mathematica強大的計算功能，畫出磁力線的分布圖，由此可以通過磁力線的疏密程度清楚地看出磁場強度的分布。最后在直角坐標系下計算了亥姆霍茲線圈三維、二維、對稱軸向的磁場矢量圖，通過分析兩個載流線圈的總磁場在軸的中點附近的較大范圍內(nèi)是均勻的。