基于推斷模型的Behrens-Fisher問題的精確檢驗

梁成揚，金 華，何美儀，譚銀冰

（華南師范大學 數學科學學院，廣州 510631）

0 引言

非劣檢驗指主要研究目的是顯示對試驗藥的反應,在臨床意義上不差于(非劣于)對照藥的試驗。設A藥為待確證療效的試驗藥,B藥為對照藥,下同。非劣檢驗的假設檢驗如下:

原假設H0:A藥療效-B藥療效≤-δ

備擇假設H1:A藥療效-B藥療效＞-δ

如果p＞0.05,按單側α=0.05的檢驗水準不能拒絕H0假設,即無法判斷A藥不差于B藥;如p≤0.05,則接受H1假設,可認為A藥不差于B藥。假設服用A藥的樣本為,服用B藥的樣本為上述非劣檢驗問題等價于：

在統計學上，該問題也稱為Behrens-Fisher問題。

針對上述問題,Welch[1,2]給出一種基于隨機自由度的近似方法（常稱為Welch近似t檢驗）,他認為檢驗統計量在原假設H成立時近似服從自由度

0為l的t分布，其中自由度(非整數時四舍五入)。l=Scheffe[3](1970),Best 和Rayner(1987)[4],以及 Moserb和Stevensg(1989)[5]都認為：如果既要考慮檢驗的無偏性,又要兼顧實際應用的方便,Welch近似t檢驗或許是最好的方法,因為它只需t分布表,而Welch-Aspin檢驗的臨界值計算相當麻煩。現在的大學教科書大都采用Welch近似t檢驗這種方法[6，7]。但是該方法下的檢驗結果不能很好地控制住第一類錯誤。

最近學術界提出了一種新的推斷體系,稱為推斷模型(Inferential Model,簡記為IM)體系,而IM體系來源于對置信及其拓展——信仰函數的Dempster-Shafer理論的探討。IM的原創基本思想來自Martin等[8]、Zhang和Liu[9]以及Zhang[10]文中提出的對Dempster-Shafer理論修正。推斷模型方法發表在國際統計學最頂尖的雜志Journal of the American Statistical Association和Journal of the Royal Statistical Society上,所以基于IM模型,下面給出精確檢驗方法。而且通過模擬驗證,基于IM模型的方法可以控制住第一類錯誤,比Welch近似t檢驗好。

1 基于推斷模型的方法

對于此問題,可以轉化為對斷言A={μ1-μ2:μ1-μ2≤-δ}={μ:μ≤-δ}的推斷,其中μ1-μ2=μ

根據文獻[11，12],得到條件聯結模型：

其中輔助變量為ω=FD(T)且ω～U(0 ，1),FD(·)為給定樣本X1，X2，...，Xn1，Y1，Y2，...，Yn2后T的條件分布函數。

(P步) 對斷言A來說,輔助變量ω的隨機預測集是：

(C步) 組合ΘZ(ω)和S得到μ的隨機預測集：

于是斷言A的可能性函數為:

此方法是有效的(證明略),但由于FD(·)給定樣本后的條件分布函數,此分布的概率密度函數是未知的,從而無法直接計算plZ(A)的值,故需要利用計算機模擬計算其估計值：

給定X1，X2，...，Xn1，Y1，Y2，...，Yn2后,分別產生n個t1與t2隨機數,其中t1～t(n1-1),t2～t(n2-1),記m為T≤-+δ的個數,利用頻率估計概率的方法,得：

則plZ(A)的估計值為：

但是,為了確保估計的精度,即：

對于給定的最大允許誤差,需要重復的次數大約為：

然而此估計值并不是plZ(A)的真實值，當p?≤α時,并不意味著有plZ(A)≤α。plZ(A)有95%的概率落在的置信區間上。為保證精度與可信性,考慮到本文的非劣檢驗為右側檢驗,故使用做統計推斷。這里,本文選擇n=10000。

2 模擬實驗及結果

2.1 實驗結果

為比較小樣本情形下Welch近似t檢驗和基于推斷模型的新方法的第一類錯誤，本文利用R語言編程進行隨機模擬。

為考察兩種方法的第一類錯誤,取顯著性水平α=0.05,重復試驗200000次,則其置信水平為95%的置信區間為(4 .904%，5.096% )。

2.2 結果分析

根據模擬結果來看,在樣本量不等的小樣本情況下,Welch近似t檢驗的第一類錯誤率大部分(58.3%)都超過了預先指定的顯著性水平α=0.05的置信上限；只有在樣本量相同的情況下,頻率方法才可以控制第一類錯誤。而在本文模擬的所有情況下,推斷模型的第一類錯誤率都較為接近5%,表明推斷模型方法能保證控制第一類錯誤。對于功效,推斷模型方法與Welch近似t檢驗相差不大,比較接近。

綜上,在樣本量不等的情況下,推斷模型方法要比Welch近似t檢驗優,而在樣本量相等的情況下，兩種方法相差不大。

3 總結

本文提出了基于推斷模型的非劣檢驗的新方法,通過比較頻率方法的Welch’s近似t檢驗,發現推斷模型有重要的應用價值,它可以完全控制第一類錯誤,不需要大量重復試驗就可以得到理想的結果,這對醫學藥效檢驗具有重大意義。然而,推斷模型的結果較為保守,難以作出精確的判斷,還是需要對具體問題進行具體分析。本文總結的這個推斷模型方法可以為實證研究人員提供一些參考,可以嘗試應用在醫學藥效檢驗的領域中。

表1 Welch近似t檢驗(T)和推斷模型(IM)的第一類錯誤模擬比較